G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

I teoremi fondamentali di Banach
2.3. Esempio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito, p ∈ [1, +∞] e q = p ′ . Sia poi
u : Ω → K una funzione misurabile tale che uv ∈ L1 (Ω) per ogni v ∈ Lq (Ω) . Dimostriamo che
u ∈ Lp (Ω) . Se p = 1 il fatto è ovvio dato che la costante v = 1 appartiene a L∞ (Ω) = Lq (Ω) .
Se p > 1 si potrebbe ragionare per assurdo, supporre cioè che u �∈ Lp (Ω) , e costruire v ∈ Lq (Ω)
tale che uv �∈ L1 (Ω) . Ma ciò è laborioso. Supponendo dunque p ∈ (1, +∞] , dimostriamo
che u ∈ Lp (Ω) usando il Teorema di Banach-Steinhaus e la mappa di Riesz (Teorema III.3.4)
Rq ∈ L(Lp (Ω); (Lq (Ω)) ∗ ) , che è suriettiva dato che q ∈ [1, +∞) . Innanzi tutto semplifichiamo
un poco la situazione osservando che, se v ∈ Lq (Ω) , appartiene a Lq (Ω) anche la funzione z
definita (q.o.) da z = 0 ove u = 0 e z = (ū/|u|)v ove u �= 0 e risulta |u|v = uz , per cui
|u|v ∈ L1 (Ω) . Non è dunque restrittivo supporre u reale non negativa. Allora resta inteso che gli
spazi funzionali sono reali. Siccome Ω è σ -finito, esiste una successione crescente {Ωn} di insiemi
di misura finita la cui unione è Ω . Per n = 1, 2, . . . , detta χn la funzione caratteristica di Ωn ,
poniamo un = χn min{u, n} così che un ∈ L∞ (Ω) e u| Ω\Ωn = 0 . Segue un ∈ Lp (Ω) . Definiamo
allora f, fn : Lq (Ω) → R mediante
�
�
f(v) = u v dµ e 〈fn, v〉 = 〈Rqun, v〉 = un v dµ per v ∈ L
Ω
q (Ω) .
Ω
Il funzionale f è ben definito perché, per ipotesi, la funzione integranda è effettivamente integrabile.
Inoltre esso è lineare. Il funzionale fn è un elemento del duale (Lq (Ω)) ∗ . Sia ora v ∈ Lq (Ω) .
Siccome |v| ∈ Lq (Ω) abbiamo u|v| ∈ L1 (Ω) ed essendo 0 ≤ un ≤ u q.o. in Ω concludiamo che
�
�
|〈fn, v〉| ≤
un |v| dµ ≤
Ω
Ω
u |v| dµ per ogni n .
Ciò mostra che alla successione {fn} è applicabile il Teorema di Banach-Steinhaus con V = L q (Ω)
e W = R (oppure il Corollario 2.2). Dunque essa è limitata in (L q (Ω)) ∗ . Ciò significa che esiste
una costante M tale che
Osserviamo ora che
lim
n→∞ 〈fn,
�
v〉 = lim
n→∞
|〈fn, v〉| ≤ M�v�q per ogni n e ogni v ∈ L q (Ω) .
Ω
�
unv dµ =
Ω
uv dµ = f(v) per ogni v ∈ L q (Ω) .
Infatti, se v ∈ L q (Ω) , da un lato abbiamo che unv → uv q.o. in Ω in quanto un → u q.o. in Ω e,
d’altra parte, |unv| ≤ u|v| q.o. in Ω e u|v| ∈ L 1 (Ω) . Dunque si può passare al limite nell’integrale
per il Teorema di Lebesgue. Segue che
|f(v)| = lim
n→∞ |〈fn, v〉| ≤ M�v�q per ogni n e ogni v ∈ L q (Ω)
per cui il funzionale f è anche continuo. Siccome la mappa Rq è suriettiva come abbiamo osservato,
esiste w ∈ Lp (Ω) tale che f = Rqw . Allora
� �
u v dµ = w v dµ per ogni v ∈ Lq (Ω)
da cui facilmente u = w e quindi u ∈ L p (Ω) .
Ω
Torniamo alle conseguenze di carattere generale annunciate.
Ω
2.4. Corollario. Ogni successione convergente debolmente* nel duale di uno spazio di Banach
è limitata e ogni successione convergente debolmente in uno spazio normato è limitata.
Analisi Funzionale
157