G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
2. Il Teorema di Banach-Steinhaus
In questo paragrafo usiamo il lemma di Baire, più precisamente il Corollario 1.2, per dimostrare il
Teorema di Banach-Steinhaus, detto anche Teorema della limitatezza uniforme, e diamo qualche
consegenza notevole di questo importante risultato.
2.1. Teorema (di Banach-Steinhaus). Siano (V, � · �V ) uno spazio di Banach, (W, � · �W )
uno spazio normato e F un sottoinsieme di L(V ; W ) . Allora la condizione
sup�Lx�W
< +∞ per ogni x ∈ V (2.1)
L∈F
è necessaria e sufficiente perché F sia un limitato di L(V ; W ) .
Dimostrazione. La necessità è ovvia: se M maggiora le norme di tutti gli operatori L ∈ F , allora
�Lx�W ≤ M�x�V per ogni L ∈ F e x ∈ V , da cui la (2.1). La parte significativa del teorema, infatti,
è la sufficienza. Per x ∈ V denotiamo con M(x) l’estremo superiore che compare nella (2.1) e, per ogni n
intero positivo, poniamo
Cn = {x ∈ V : �Lx�W ≤ n per ogni L ∈ F }.
Se x ∈ V , scelto n > M(x) , si ha x ∈ Cn . Dunque l’unione di tutti i Cn è V . D’altra parte
Cn = �
L∈F
CL,n ove CL,n = {x ∈ V : �Lx�W ≤ n}
e ciascuno dei CL,n è chiuso dato che la funzione �L · �W = (� · �W )◦L è continua in quanto composizione di
due funzioni continue. Allora è chiuso anche ogni Cn . Ma V è completo per ipotesi. Per il Corollario 1.2,
possiamo fissare n in modo che Cn abbia interno non vuoto. Siano dunque x0 ∈ V e ρ > 0 tali che
Bρ(x0) ⊆ Cn . Posto r = ρ/2 , la palla chiusa B = Br(x0) è inclusa in Cn . Allora, per ogni x ∈ V con
�x�V = 1 abbiamo x0 + rx ∈ B , dunque x0 + rx ∈ Cn . Per ogni L ∈ F , deduciamo allora
�Lx�W = 1
r �L(x0 + rx) − Lx0�W ≤ 1
r �L(x0 + rx)�W + 1
r �Lx0�W ≤ n M(x0)
+ .
r r
Concludiamo che �L� L(V ;W ) ≤ (n + M(x0))/r per ogni L ∈ F .
Diamo qualche applicazione relativa al caso di funzionali: un criterio di limitatezza per sottoinsiemi
con una applicazione significativa, la limitatezza derivante da convergenze di tipo debole
e qualche conseguenza utile in varie applicazioni.
2.2. Corollario. Se V è uno spazio di Banach, un sottoinsieme S ∗ ⊂ V ∗ è limitato se e solo se
per ogni x ∈ V l’insieme {〈f, x〉 : f ∈ S ∗ } è limitato.
Se V è uno spazio normato, un sottoinsieme S ⊂ V è limitato se e solo se
per ogni f ∈ V ∗ l’insieme {〈f, x〉 : x ∈ S} è limitato.
Dimostrazione. La prima affermazione rientra direttamente nel Teorema di Banach-Steinhaus nel caso
W = K , per cui passiamo alla seconda. Consideriamo l’immagine J(S) di S tramite l’isomorfismo canonico,
che è un’isometria. Allora S è limitato in V se e solo se J(S) è limitato in V ∗∗ . Ma V ∗∗ è il duale di V ∗ ,
che è uno spazio di Banach per il Teorema III.2.5. Dunque possiamo applicare la prima parte e concludere
che tale limitatezza equivale alla condizione
per ogni f ∈ V ∗ l’insieme {〈Jx, f〉 : x ∈ S} è limitato.
Ma questa coincide con la condizione dell’enunciato per definizione di J .
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Gianni Gilardi