G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
5.4. Esempio (funzioni continue su un compatto). Sia K uno spazio topologico compatto.
Poniamo
C(K) = {v : K → K continue}.
Esso è un sottospazio vettoriale di B(K) in quanto tutte le funzioni continue sono limitate in questo
caso: precisamente C(K) = Cb(K) con la notazione dell’esempio precedente. Esso è dunque un
sottospazio chiuso di B(K) . Notiamo che la norma di un elemento di C(K) si può scrivere come
massimo anziché come estremo superiore. Per questo motivo si parla della norma del massimo. Per
estensione si usa spesso la stessa terminologia per la norma in B(X) .
5.5. Esempio (funzioni uniformemente continue). Nelle applicazioni è spesso opportuno
considerare funzioni definite in aperti anziché su compatti. Per questo motivo usiamo una notazione
che può apparire strana a prima vista. Se Ω è un aperto limitato di R d poniamo
C 0 (Ω) = {v : Ω → K continue} e C 0 (Ω) = {v : Ω → K uniformemente continue}
e muniamo C 0 (Ω) della norma
�v�∞ = sup |v(x)|. (5.2)
x∈Ω
Tale spazio è isometricamente isomorfo allo spazio C(Ω) delle funzioni continue sul compatto Ω
(da cui le notazioni che abbiamo usato). Infatti, se Ω è limitato, una funzione v : Ω → K è uniformemente
continua se e solo se ha un prolungamento continuo �v : Ω → K (Proposizione A.1.27).
Inoltre tale prolungamento è unico. L’isomorfismo naturale, dunque, è quello che a ogni v ∈ C 0 (Ω)
associa il prolungamento continuo in questione. Di fatto, pensiamo contemporaneamente ai due
spazi isomorfi, considerando l’uno o l’altro a seconda della convenienza del momento.
5.6. Esempio (spazi di Lebesgue). Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito. Inoltre sia
p ∈ [1, +∞) . Con L p (Ω) denotiamo lo spazio delle (classi di) funzioni misurabili v : Ω → K tali
che |v| p sia integrabile munito della norma
��
�v�p = |v|
Ω
p �1/p dµ . (5.3)
Che la norma si annulli solo sulla funzione misurabile nulla è dovuto alla definizione stessa di
funzione misurabile nulla (Definizione A.2.20): questa è la classe delle funzioni v : Ω → K misurabili
nulle q.o. Tuttavia la subadditività della norma è ovvia solo se p = 1 . In generale essa è detta
disuguaglianza di Minkowski e viene dimostrata tra breve, appunto nell’ipotesi p ∈ [1, +∞) , come
conseguenza di altre disuguaglianze importanti. Dopo di che, � · �p è effettivamente una norma e
L p (Ω) diventa uno spazio normato. Escluso il caso in cui lo spazio di misura sia così banale da
rendere L p (Ω) monodimensionale o addirittura ridotto allo zero, tale spazio è prehilbertiano se e
solo se p = 2 . In tali condizioni il prodotto scalare è dato dalla formula
�
(u, v) =
Ω
u v dµ. (5.4)
5.7. Osservazione. Nel seguito resta inteso che, se Ω ⊆ R d , lo spazio di misura è quello costruito
mediante la misura di Lebesgue. In particolare possiamo considerare le funzioni continue
come classi di funzioni misurabili, cioè associare a una funzione continua la classe che la contiene, la
corrispondenza essendo iniettiva, e dare senso all’intersezione L p (Ω) ∩ C 0 (Ω) : essa è l’insieme delle
(classi di) funzioni di L p (Ω) che hanno un (unico) rappresentante continuo o, in modo equivalente,
l’insieme delle funzioni v continue tali che |v| p sia integrabile. Considerazioni analoghe valgono
quando L p (Ω) è sostituito dallo spazio L ∞ (Ω) introdotto di seguito.
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Gianni Gilardi