G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Inoltre w è di classe C 1 e per ogni x ∈ R d abbiamo |w(x)| ≤ �u�∞�ρ�1 e
|∇w(x)| = δ −d−1
��
�
�
R d
u(z) ∇ρ � (z − x)/δ � �
�
dz�
= δ −1 �
�u�∞
I teoremi fondamentali di Banach
B1(0)
|∇ρ(y)| dy
per cui w è anche globalmente limitata e lipschitziana con costante di Lipschitz L = δ −1 �u�∞�∇ρ�1 . Sia
ora ζ : [0, +∞) → [0, 1] verificante ζ(t) = 1 se t ≤ n + 1 e ζ(t) = 0 se t ≥ n + 2 e definiamo v : R d → R
mediante la formula
v(x) = u(x) + ζ(|x|) � w(x) − u(x) � .
Allora v ∈ V e risulta
v(x) = u(x) se |x| ≥ n + 2 e |v(x) − u(x)| ≤ |w(x) − u(x)| ≤ ε se |x| ≤ n + 2 .
Pertanto �v − u�∞ ≤ ε . Sia infine ϕ : R → R la funzione 2 -periodica che verifica ϕ(t) = 1 − |t| per |t| ≤ 1
e per k = 1, 2, . . . definiamo uk : R d → R mediante la formula
uk(x) = v(x) + εϕ(kx1)
ove naturalmente x1 è la prima coordinata di x . Allora uk ∈ V e �uk − v�∞ ≤ ε così che �uk − u� ≤ 2ε .
Mostriamo che per k abbastanza grande uk �∈ Cn , il che concluderà la verifica che Cn ha interno vuoto. Per
rendere più lineare la dimostrazione fissiamo fin d’ora k > (n + L)/ε (anche se il motivo di tale scelta sarà
completamente chiaro solo alla fine), ove L è la costante di Lipschitz di w introdotta sopra. Per assurdo
uk appartenga a Cn e sia x0 ∈ Bn(0) tale che |uk(x) − uk(x0)| ≤ n|x − x0| per ogni x ∈ B 1/n(x0) . Per
tali x abbiamo allora (ove x01 è la prima coordinata di x0 )
|εϕ(kx1) − εϕ(kx01)| ≤ |uk(x) − uk(x0)| + |v(x) − v(x0)| = |uk(x) − uk(x0)| + |w(x) − w(x0)| ≤ (n + L)|x − x0|
dato che v(y) = w(y) se |y| ≤ n + 1 . Ciò, in particolare, con x = x0 + te1 purché |t| < 1/n . Deduciamo
D’altra parte
|ϕ(k(x01 + t)) − ϕ(kx01)|
|t|
≤
n + L
ε
per |t| < 1/n .
|ϕ(k(t0 + t)) − ϕ(kt0)|
|ϕ(kt0 + s)) − ϕ(kt0)|
sup
= k sup
= k
0