G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
Siccome lo spazio metrico è completo, la successione {xn} converge. Detto x il suo limite, dimostriamo
che x appartiene ad A ∩ Br0(x0) . Fissiamo m ≥ 1 ad arbitrio. Allora xn ∈ Brm(xm) ⊆ Br1(x1) per ogni
n ≥ m e siccome gli ultimi due insiemi sono chiusi, deduciamo che x ∈ Brm(xm) ⊆ Br1(x1) . In particolare
x ∈ Am ∩ Br0 (x0) . Per l’arbitrarietà di m ≥ 1 concludiamo che x ∈ A ∩ Br0 (x0) .
1.2. Corollario. Se uno spazio metrico completo (S, d) è unione di una successione {Cn} di
chiusi, allora almeno uno di essi ha interno non vuoto.
Dimostrazione. Per assurdo tutti i Cn abbiano interno vuoto. Allora, per il lemma di Baire, anche
l’unione dei Cn ha interno vuoto, mentre tale unione è l’intero spazio S , assurdo.
Come abbiamo detto all’inizio del paragrafo, il lemma di Baire ha applicazioni di vario tipo.
Sebbene noi l’abbiamo introdotto in vista della sua applicazione ai risultati di Analisi funzionale
che dimostriamo nei paragrafi successivi, ci concediamo una digressione e dimostriamo l’esistenza di
(numerosissime) funzioni continue non differenziabili in alcun punto. Lo spazio Cb(R d ) introdotto
nel risultato dato di seguito è caso particolare di quello considerato nell’Esempio I.5.3: esso è lo
spazio delle funzioni continue e limitate in R d , qui a valori reali per semplicità.
1.3. Proposizione. Il sottoinsieme N di Cb(R d ) costituito dalle funzioni che non sono differenziabili
in alcun punto di R d è denso in Cb(R d ) .
Dimostrazione. Poniamo per comodità V = Cb(R d ) e D = V \ N . Dunque D è il sottoinsieme delle
funzioni differenziabili in almeno un punto. Per n = 1, 2, . . . , definiamo
Cn = {v ∈ V : esiste x0 ∈ Bn(0) tale che |v(x) − v(x0)| ≤ n|x − x0| per ogni x ∈ B 1/n(x0)}
e dimostriamo che D è incluso nell’unione dei Cn . Sia u ∈ D e sia x0 ∈ R d un punto in cui u è
differenziabile. Allora esistono δ > 0 e L > 0 tali che
|u(x) − u(x0) − dfx0 (x − x0)| ≤ |x − x0| per |x − x0| ≤ δ e |dfx0 h| ≤ L|h| per ogni h ∈ Rd .
Per |x − x0| ≤ δ abbiamo allora |u(x) − u(x0)| ≤ (L + 1)|x − x0| . Pertanto, scelto n verificante n ≥ |x0| ,
n ≥ L + 1 e 1/n ≤ δ , risulta u ∈ Cn . Siccome la tesi equivale al fatto che D abbia interno vuoto,
l’inclusione appena controllata assicura che è sufficiente dimostrare che di tale proprietà gode l’unione dei Cn .
Verifichiamo pertanto che la successione {Cn} soddisfa le ipotesi del Lemma di Baire relativamente allo
spazio V , che è completo. Fissiamo dunque n .
Proviamo che Cn è chiuso. Sia {uk} una successione di elementi di Cn convergente uniformemente a
u ∈ V : dimostriamo che u ∈ Cn . Sia xk dato dall’appartenenza di uk a Cn , cioè verificante
|xk| ≤ n e |uk(x) − uk(xk)| ≤ n|x − xk| per ogni x ∈ B 1/n(xk) .
Estraendo una sottosuccessione, ci riconduciamo al caso in cui {xk} converge a un punto x0 ∈ R d . Segue
|x0| ≤ n . Sia ora x ∈ B 1/n(x0) . Allora esiste k0 tale che xk ∈ B 1/n(x0) per ogni k ≥ k0 . Si ha
pertanto |uk(x) − uk(xk)| ≤ n|x − xk| per ogni k ≥ k0 e passando al limite per k → ∞ deduciamo
facilmente la disuguaglianza |u(x) − u(x0)| ≤ n|x − x0| : infatti {uk(xk)} converge a u(x0) in quanto
|uk(xk) − u(x0)| ≤ �uk − u�∞ + |u(xk) − u(x0)| . Dunque u ∈ Cn e Cn è chiuso.
Verifichiamo ora che Cn ha interno vuoto. Siano u ∈ Cn e ε > 0 . Fissiamo una funzione ρ ∈ C 1 (R d )
positiva in B1(0) e nulla altrove e con integrale pari a 1 . Osservato che u è uniformemente continua
in Bn+3(0) , scegliamo δ ∈ (0, 1) tale che |u(x) − u(y)| ≤ ε per tutte le coppie di punti x, y ∈ Bn+3(0)
verificanti |x − y| ≤ δ e definiamo w : Rd → R mediante la formula
�
w(x) = u(x + δy) ρ(y) dy = δ −d
�
u(z) ρ � (z − x)/δ � dz.
Si ha subito che
��
�
|w(x) − u(x)| = �
154
B1(0)
B1(0)
� � � �
�
u(x + δy) − u(x) ρ(y) dy�
≤ ε
R d
B1(0)
ρ(y) dy = ε per ogni x ∈ Bn+2(0) .
Gianni Gilardi