G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 7
I teoremi fondamentali di Banach
In questo capitolo dimostriamo altri risultati fondamentali della teoria degli spazi di Banach,
in particolare il Teorema di Banach-Steinhaus, detto anche Teorema della limitatezza uniforme,
e i Teoremi dell’applicazione aperta e del grafico chiuso, che in qualche modo vanno fatti risalire
a Banach. Ne deriviamo varie conseguenze rilevanti, fra le quali alcuni risultati connessi con la
risolubilità rispetto all’incognita u di un’equazione del tipo Lu = f , ove L è un operatore lineare
non limitato fra spazi di Banach. Terminiamo il capitolo con un’applicazione allo studio di un
problema per un’equazione alle derivate parziali di tipo ellittico. Il punto di partenza è il Lemma
di Baire, al quale dedichiamo il primo paragrafo.
1. Il Lemma di Baire
Si tratta di un risultato che può avere svariate applicazioni. Esso riguarda successioni di aperti
densi e di chiusi a interno vuoto di spazi metrici completi e una sua conseguenza importante è che
uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di chiusi a interno vuoto.
1.1. Teorema (Lemma di Baire). Siano (S, d) uno spazio metrico completo, {An}n≥1 una
successione di aperti e {Cn}n≥1 una successione di chiusi. Se tutti gli aperti An sono densi allora
è densa anche la loro intersezione e se tutti i Cn hanno interno vuoto allora ha interno vuoto anche
la loro unione.
Dimostrazione. Le due affermazioni si equivalgono. Infatti C ⊆ S è chiuso con interno vuoto se e solo
se A = S \ C è un aperto denso e il passaggio al complementare scambia unioni e intersezioni. Trattiamo
dunque il caso della successione di aperti densi.
Per y ∈ S e r > 0 , come d’abitudine poniamo Br(y) = {x ∈ S : d(x, y) < r} e introduciamo
la notazione Br(y) = {x ∈ S : d(x, y) ≤ r} , osservando che quest’ultimo è un chiuso (anche se non è
necessariamente la chiusura dell’altro in un generico spazio metrico). Detta A l’intersezione degli An ,
dobbiamo dimostrare che, per ogni x0 ∈ S e r0 > 0 , la palla Br0 (x0) interseca A . Fissiamo dunque x0
e r0 . Siccome A1 è denso, A1 ∩ Br0 (x0) contiene un punto x1 . Ma tale intersezione è anche un aperto,
per cui essa contiene una palla di centro x1 . Pur di rimpicciolirne il raggio troviamo r1 > 0 tale che
Br1 (x1) ⊆ A1 ∩ Br0 (x0) e r1 ≤ r0
2 .
Consideriamo ora A2 , che pure è denso. Allora A2 ∩ Br1(x1) contiene un punto x2 . Procedendo analogamente,
troviamo r2 > 0 tale che
Br2(x2) ⊆ A2 ∩ Br1(x1) e r2 ≤ r1
2 .
Ragionando per induzione, costruiamo una successione {xn} di punti di S e una successione {rn} di reali
positivi tali che
Brn(xn) ⊆ An ∩ Brn−1(xn−1) e rn ≤ rn−1
2
per ogni n ≥ 1 .
Verifichiamo che {xn} è una successione di Cauchy osservando preliminarmente che la successione {Brn (xn)}
decresce. Fissato ε > 0 e notato che {rn} è infinitesima, fissiamo m ≥ 1 tale che rm ≤ ε . Allora, per
n ≥ m abbiamo xn ∈ Brn (xn) ⊆ Brm (xm) . Quindi, per k, n ≥ m risulta
d(xk, xn) ≤ d(xk, xm) + d(xm, xn) ≤ 2rm ≤ 2ε.