G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 6
ove J è l’isomorfismo canonico di V e (con la notazione (2.1)) J1⊗J2 è l’applicazione definita dalla formula
(J1 ⊗ J2)(v1, v2) = (J1v1, J2v2) per vi ∈ V1 e v2 ∈ V2 .
Siccome J1 ⊗ J2 è ovviamente un isomorfismo, L∗ è un isomorfismo come abbiamo osservato e L∗ è un
isomorfismo grazie al per il Teorema V.8.10, deduciamo che anche J è un isomorfismo se dimostriamo che
il diagramma è commutativo. Controlliamo dunque questo fatto. Per (v1, v2) ∈ V e (f1, f2) ∈ V ∗
1 × V ∗
2
abbiamo
〈L∗(J1 ⊗ J2)(v1, v2), (f1, f2)〉 = 〈L∗(J1v1, J2v2), (f1, f2)〉 = 〈J1v1, f1〉 + 〈J2v2, f2〉 = 〈f1, v1〉 + 〈f2, v2〉.
D’altra parte
〈L ∗ J(v1, v2), (f1, f2)〉 = 〈J(v1, v2), L(f1, f2)〉 = 〈L(f1, f2), (v1, v2)〉 = 〈f1, v1〉 + 〈f2, v2〉.
Dunque il diagramma è commutativo e la dimostrazione è conclusa.
2.8. Esercizio. Si inverta il risultato precedente dimostrando che, se il prodotto V1 × V2 è
riflessivo, allora sono riflessivi entrambi gli spazi V1 e V2 di partenza.
2.9. Teorema. Siano V e W due spazi normati immersi con continuità in uno spazio vettoriale
topologico Z . Se V e W sono riflessivi, allora anche V ∩ W e V + W lo sono.
Dimostrazione. Infatti l’intersezione e la somma sono spazi isomorfi a sottospazi chiusi del prodotto
V × W e, rispettivamente, del quoziente di V × W rispetto a un suo sottospazio chiuso (si vedano il
Teorema I.6.1 e la dimostrazione del Teorema II.1.6).
2.10. Osservazione. Vi è un’altra costruzione canonica, di cui diamo solo un cenno e che riprenderemo
più tardi, che pure porta a uno spazio riflessivo se si parte da spazi riflessivi. Siano V e
W due spazi normati, L : D(L) ⊆ V → W un operatore lineare e G(L) il suo grafico. Siccome
l’applicazione I : D(L) → G(L) data da Iv = (v, Lv) è un isomorfismo algebrico, scelta la norma
nel prodotto V × W fra quelle naturali e considerata la norma indotta su G(L) , possiamo considerare
la norma � · �G (detta norma del grafico) in D(L) che rende I isomorfismo isometrico:
�v�G = �(v, Lv)�V ×W per v ∈ D(L) . Supponiamo ora che G(L) sia un sottospazio chiuso del
prodotto (in tali condizioni si dice che L è un operatore chiuso). Allora, se V e W sono spazi
riflessivi, anche D(L) , munito della norma del grafico, è uno spazio riflessivo. Infatti, per i risultati
precedenti, sono riflessivi l’uno dopo l’altro gli spazi V × W , G(L) e D(L) .
Combiniamo i risultati di questo capitolo per dimostrare la riflessività degli spazi di Sobolev
per p ∈ (1, +∞) , riflessività che, invece, è falsa nei casi estremi (si riveda l’Osservazione 2.5).
2.11. Teorema. Gli spazi di Sobolev W k,p (Ω) sono riflessivi per ogni k ≥ 0 e p ∈ (1, +∞) .
Dimostrazione. Riprendiamo velocemente la dimostrazione del Teorema II.2.11 di completezza dello
spazio di Sobolev W k,p (Ω) : esiste un isomorfismo di W k,p (Ω) su un sottospazio chiuso V0 di una certa
potenza L p (Ω) N di L p (Ω) . Siccome p ∈ (1, +∞) , lo spazio L p (Ω) è riflessivo per il Teorema 1.3. Allora
i Teoremi 2.7, 2.3 e 2.2 forniscono, nell’ordine, la riflessività di L p (Ω) N , di V0 , di W k,p (Ω) .
2.12. Esercizio. Siano Ω un aperto di Rd , e siano k ≥ 0 intero e p ∈ (1, +∞) . Sia poi {un}
una successione limitata in W k,p (Ω) tale che, per |α| ≤ k e per ogni v ∈ C∞ c (Ω) , la successione
numerica costituita dagli integrali �
Ω (Dαun) v dx converga. Si dimostri che {un} converge
debolmente in W k,p (Ω) . Consigliamo il lettore di rivedere l’Esercizio V.2.3 e il Corollario V.6.2.
2.13. Esercizio. Sia Ω un intervallo. Si dimostri che W 1,1 (Ω) non è riflessivo. Si consiglia di
ragionare per assurdo e di utilizzare il Teorema V.7.2 di compattezza debole sequenziale. Si estenda
il risultato di non riflessività allo spazio W k,1 (Ω) con k ≥ 0 arbitrario.
2.14. Esercizio. Sia Ω un intervallo limitato e sia L : W 1,∞ (Ω) → L∞ (Ω) × R l’applicazione
data da v ↦→ (v ′ , �
Ω v dx) . Si dimostri che L è un isomorfismo e si deduca che W 1,∞ (Ω) non è
riflessivo. Si consiglia di usare l’Esercizio 2.8. Per induzione, si generalizzi a W k,∞ (Ω) , k ∈ N .
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Gianni Gilardi