G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

2.3. Teorema. Se V è riflessivo, ogni suo sottospazio chiuso V0 è riflessivo.
2.4. Corollario. Uno spazio di Banach è riflessivo se e solo se è riflessivo il suo duale.
Spazi riflessivi
Dimostrazione. Supponiamo V riflessivo e denotiamo con J e con J∗ l’iniezione canonica di V e
quella di V ∗ rispettivamente. Per ipotesi J : V → V ∗∗ è un isomorfismo. Grazie al Teorema V.8.10, è un
isomorfismo anche l’operatore (J −1 ) ∗ : V ∗ → V ∗∗∗ . La riflessività di V ∗ segue allora immediatamente se
dimostriamo che (J −1 ) ∗ coincide con J∗ . Ma ciò è immediato. Per ogni f ∈ V ∗ e F ∈ V ∗∗ si ha infatti
〈(J −1 ) ∗ f, F 〉 = 〈f, J −1 F 〉 = 〈JJ −1 F, f〉 = 〈F, f〉 = 〈J∗f, F 〉.
Viceversa, supponiamo V ∗ riflessivo e dimostriamo che è riflessivo V . Grazie alla prima parte V ∗∗ è pure
riflessivo. Allora, per il Teorema 2.3, è riflessivo anche il suo sottospazio chiuso J(V ) . Segue che anche V ,
che è isomorfo a J(V ) , è riflessivo.
2.5. Osservazione. Riprendiamo l’Osservazione 1.4 e dimostriamo l’affermazione (V.11.10) preannunciata
nell’Osservazione V.11.15: gli spazi L 1 (Ω) e L ∞ (Ω) costruiti su uno spazio di misura
σ -finito sono riflessivi se e solo se hanno dimensione finita (cioè in situazioni banali per lo spazio di
misura: si rivedano il Teorema I.5.36 e l’Osservazione I.5.37). La riflessività nel caso della dimensione
finita segue dal risultato generale 1.1. Supponiamo ora L 1 (Ω) di dimensione infinita. In tali
condizioni il fatto che esso non sia riflessivo è già stato visto appunto nell’osservazione citata. Allora,
nella stessa ipotesi, grazie al Corollario 2.4 e al Teorema 2.2, non è riflessivo nemmeno L ∞ (Ω) ,
che è isomorfo al duale di L 1 (Ω) .
Sebbene la dimostrazione fatta sia completa, vale la pena di notare che la non riflessività
di L 1 (Ω) , in tutti i casi concreti interessanti, può essere ottenuta anche in un altro modo: infatti,
in tali casi, L 1 (Ω) è separabile mentre L ∞ (Ω) non lo è e la riflessività di L 1 (Ω) implicherebbe la
separabilità del suo duale (Corollario V.5.13) e quindi quella di L ∞ (Ω) , che invece è falsa.
Consideriamo ora gli spazi generati dalle altre costruzioni canoniche: il quoziente, il prodotto,
l’intersezione, la somma. Dimostriamo che tutti questi spazi sono riflessivi se costruiti a partire da
spazi riflessivi. Alcune delle dimostrazioni dipendono ancora dal Teorema 2.3.
2.6. Teorema. Se V è riflessivo e V0 è un suo sottospazio chiuso, anche V/V0 è riflessivo.
Dimostrazione. Per il Teorema III.3.10, il duale di V/V0 è isomorfo a un sottospazio chiuso di V ∗ . Ma
la riflessività di V implica quella di V ∗ e dei sottospazi chiusi di V ∗ . Quindi anche il duale di V/V0 è
riflessivo, da cui la riflessività del quoziente stesso.
2.7. Teorema. Il prodotto di due spazi riflessivi è riflessivo.
Dimostrazione. Siano V1 e V2 gli spazi in questione e V il loro prodotto. Per f1 ∈ V ∗
1 e f2 ∈ V ∗
2
denotiamo con L(f1, f2) il funzionale su V che a ogni (v1, v2) ∈ V associa 〈f1, v1〉 + 〈f2, v2〉 . Si ha
L(f1, f2) ∈ V ∗ e, grazie al Teorema III.3.10, l’applicazione L : V ∗
1 × V ∗
2 → V ∗ che a ogni (f1, f2) ∈ V ∗
1 × V ∗
2
associa L(f1, f2) è un isomorfismo. In particolare è un isomorfismo anche l’analoga applicazione L∗ costruita
a partire dagli spazi V ∗
1 e V ∗
2 . Riassumiamo le definizioni di L e di L∗ : abbiamo
〈L(f1, f2), (v1, v2)〉 = 〈f1, v1〉 + 〈f2, v2〉 e 〈L∗(F1, F2), (f1, f2)〉 = 〈F1, f1〉 + 〈F2, f2〉
per ogni vi ∈ Vi , fi ∈ V ∗
i e Fi ∈ V ∗∗
i , i = 1, 2 . Consideriamo ora il diagramma
Analisi Funzionale
V = V1 × V2 ⏐
J ⏐
�
J1 ⊗ J2
−−−−−−→ V ∗∗
⏐
V ∗∗ = (V1 × V2) ∗∗ −−−−−−→
L ∗
1 × V ∗∗
2
� L∗
(V ∗
1 × V ∗
2 ) ∗
151