G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 6
1.13. Esempio. Si supponga p ∈ (1, +∞) e siano u ∈ Lp (Rd ) e {hn} una successione infinitesima
di elementi di Rd . Per ogni n definiamo un mediante la formula un(x) = u(x + hn)
e dimostriamo che un → u in Lp (Rd �
) usando i risultati precedenti. Si ha immediatamente
Rd |un| p dx = �
Rd |u| p dx così che la seconda delle (1.3) è banalmente soddisfatta. Sia ora
v ∈ C∞ c (Rd ) e si ponga vn(x) = v(x − hn) per x ∈ Rd . Allora, scelto r > 0 tale che v(x) = 0
per |x| > r e supponendo senz’altro |hn| ≤ 1 , si ha v(x) = vn(x) = 0 se |x| > r + 1 e
�
�
�
�
un(x) v(x) dx = un(x) v(x) dx = u(y) v(y − hn) dy = u(y) vn(y) dy.
Br+1(0)
R d
R d
Br+1(0)
Ma |v(y − hn) − v(y)| ≤ |hn| �∇v�∞ per ogni y , per cui vn → v in Lq (Br+1(0)) ove q = p ′ . Per
la disuguaglianza di Hölder deduciamo che
�
�
�
�
lim
n→∞
un(x) v(x) dx = lim
n→∞
u(y) vn(y) dy = u(x) v(x) dx = u(x) v(x) dx.
R d
Br+1(0)
Br+1(0)
Quindi un ⇀ u in L p (R d ) grazie alla limitatezza di {un} e alla densità di C ∞ c (R d ) in L q (R d )
(vera perché q < +∞ ). Concludiamo allora applicando il Teorema di Clarkson e la Proposizione
1.12. Ricordiamo però che la convergenza forte vale per ogni p ∈ [1, +∞) (Esempio V.4.11).
2. Costruzioni di spazi riflessivi
I prossimi risultati mostrano che, partendo da spazi riflessivi e costruendo nuovi spazi a partire da
questi mediante le usuali procedure canoniche, si ottengono ancora spazi riflessivi. Conviene fissare
una notazione che useremo sistematicamente
se Vα è uno spazio normato, il simbolo Jα denota l’iniezione canonica di Vα in V ∗∗
α
ove α è un simbolo qualunque, anche vuoto, e premettere un semplice lemma.
2.1. Lemma. Se V1 e V2 sono spazi normati e L ∈ L(V1; V2) , il diagramma
è commutativo.
J1
V1
⏐
�
V ∗∗
1
Dimostrazione. Per ogni v1 ∈ V1 e f ∈ V ∗
2 si ha
da cui la tesi.
L
−−−−−−→ V2
−−−−−−→
L ∗∗
⏐
� J2
V ∗∗
2
〈L ∗∗ J1v1, f〉 = 〈J1v1, L ∗ f〉 = 〈L ∗ f, v1〉 = 〈f, Lv1〉 e 〈J2Lv1, f〉 = 〈f, Lv1〉
2.2. Teorema. Se due spazi di Banach sono isomorfi, allora la riflessività di uno di essi implica
la riflessività dell’altro.
Dimostrazione. Con le notazioni del lemma, si supponga che L sia un isomorfismo e che V1 sia riflessivo.
Per il lemma stesso abbiamo allora J2 = L ∗∗ ◦ J1 ◦ L −1 e quindi J2 è composizione di tre isomorfismi dato
che anche L ∗∗ è un isomorfismo per il Teorema V.8.10 applicato prima a L e poi a L ∗ .
Il prossimo risultato è già stato dimostrato (vedi Teorema V.7.1). Ne richiamiamo l’enunciato
in modo da riunirlo agli altri sull’argomento e ne deriviamo alcune conseguenze importanti.
150
R d
(2.1)
Gianni Gilardi