G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi riflessivi
norma | · |pk (di facile verifica dato che pk > 1 ). Siccome nessuna delle successioni {|ξk|pk } e
{|ηk|pk } è la successione nulla di ℓ2 , otteniamo {|ξk|pk } = λ{|ηk|pk } per un certo λ > 0 , vale
a dire |ξk|pk = λ|ηk|pk per ogni k . D’altro canto, se ξk �= (0, 0) e ηk �= (0, 0) , si deve avere
ξk = λkηk per un certo λk > 0 , da cui anche |ξk|pk = λk|ηk|pk e il confronto con quanto appena
scritto sopra implica λk = λ . Dunque ξk = ληk per i k tali che ξk e λk non siano nulli. Ma
l’uguaglianza |ξk|pk = λ|ηk|pk , valida comunque, implica che l’annullamento di uno dei due vettori
equivale a quello dell’altro, per cui resta vero che ξk = ληk . Abbiamo pertanto ξk = ληk per ogni
k da cui immediatamente xk = λyk per ogni k e quindi x = λy .
Più facile è vedere che lo spazio non è uniformemente convesso. Si prendano infatti i due vettori
x = e2n−1 e y = e2n della base canonica di ℓ 2 ove n ≥ 1 è arbitrario. Allora �x� = �y� = 1 e
�x − y� = �x + y� = 2 pn . Siccome 2 pn ≥ 1 per ogni n e limn→∞ 2 pn = 2 , segue che (ℓ 2 , � · �)
non è uniformemente convesso.
Fondamentale è il risultato dato di seguito, che tuttavia enunciamo soltanto.
1.9. Teorema (di Milman). Ogni spazio di Banach uniformemente convesso è riflessivo.
Recuperiamo di nuovo la riflessività degli spazi L p (Ω) per p ∈ (1, +∞) e degli spazi di Hilbert
per mezzo del Teorema di Milman, di quello dato di seguito, che pure soltanto enunciamo, e del
risultato successivo.
1.10. Teorema (di Clarkson). Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e p ∈ (1, +∞) .
Allora L p (Ω) con la norma usuale è uniformemente convesso.
1.11. Proposizione. Ogni spazio prehilbertiano è uniformemente convesso.
Dimostrazione. Siano x, y come in (1.1). Usando la regola del parallelogrammo si ottiene
�x + y� 2 = 2�x� 2 + 2�y� 2 − �x − y� 2 ≤ 4 − ε 2 da cui �(x + y)/2� ≤ � 1 − (ε 2 /4)
e l’ultimo membro può essere scritto nella forma 1 − δ con un certo δ > 0 .
Terminiamo il paragrafo con una condizione (necessaria e) sufficiente per la convergenza forte
valida negli spazi uniformemente convessi che generalizza la situazione della Proposizione IV.4.5
relativa agli spazi di Hilbert. Ciò naturalmente non stupisce, grazie alla Proposizione 1.11.
1.12. Proposizione. Sia V uno spazio uniformemente convesso e si supponga che
Allora xn → x .
xn ⇀ x e lim sup�xn�
≤ �x�. (1.3)
n→∞
Dimostrazione. Supponiamo dapprima �xn� = �x� = 1 e, per assurdo, supponiamo che {xn} non
converga fortemente a x . Allora esistono ε > 0 e una sottosuccessione {xnk } tali che �xnk − x� ≥ ε per
ogni k . Grazie all’ipotesi di uniforme convessità segue che �(xnk + x)/2� ≤ 1 − δ per un certo δ > 0 e
per ogni k , da cui anche lim infk→∞�(xnk + x)/2� ≤ 1 − δ . D’altra parte (xnk + x)/2 ⇀ (x + x)/2 = x .
Tenendo conto della Proposizione V.2.12, deduciamo 1 = �x� ≤ lim infk→∞�(xnk + x)/2� ≤ 1 − δ , assurdo.
Consideriamo il caso generale. Se x = 0 la tesi è ovvia, per cui supponiamo x �= 0 . Abbinando le
ipotesi (1.3) e la Proposizione V.2.12, otteniamo
�x� ≤ lim inf
n→∞ �xn� ≤ lim sup�xn�
≤ �x�
da cui �x� = limn→∞�xn� . Allora xn �= 0 per n abbastanza grande. Poniamo λn = 1/�xn� , λ = 1/�x� ,
yn = λnxn e y = λx e verifichiamo che yn ⇀ y . Per ogni f ∈ V ∗ si ha infatti
n→∞
lim
n→∞ 〈f, yn〉 = lim
n→∞ λn〈f, xn〉 = λ〈f, x〉 = 〈f, y〉
dato che xn ⇀ x e λn → λ . Siccome �yn� = �y� = 1 , per la prima parte della dimostrazione abbiamo che
yn → y . Ma xn = yn/λn e x = y/λ . Siccome {1/λn} converge a 1/λ , concludiamo che xn → x .
Analisi Funzionale
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