G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 6
1.5. Definizione. Uno spazio normato (V, � · �) è uniformemente convesso quando per ogni
ε ∈ (0, 2] esiste δ > 0 tale che valga l’implicazione
da �x� ≤ 1, �y� ≤ 1 e �x − y� ≥ ε segue �(x + y)/2� ≤ 1 − δ. (1.1)
Nella definizione si è supposto ε ≤ 2 altrimenti non vi sono punti x e y che verificano le
ipotesi dell’implicazione (1.1).
1.6. Osservazione. Le nozioni di stretta convessità, uniforme convessità e riflessività sono legate
fra loro e a varie questioni di Analisi Funzionale e conviene dire almeno due parole in proposito.
i) Ogni spazio uniformemente convesso è strettamente convesso (vedi Definizione V.3.3), ma
l’uniforme convessità dice qualcosa di più della stretta convessità: se due punti del bordo della
palla unitaria sono distinti, non solo la loro media è un punto interno, ma si riesce anche a dare
una stima di quanto questa sia interna in funzione della sola distanza dei due punti considerati,
indipendentemente dalla loro posizione. Si intuisce che i due concetti coincidono al più in dimensione
finita e a questo proposito si vedano l’esercizio e l’esempio dati di seguito. Inoltre, come la stretta
convessità, così l’uniforme convessità è una proprietà della norma specifica e non dello spazio
topologico normabile, come subito si vede considerando il caso V = R 2 .
ii) In base al Teorema V.3.4 di Asplund, se uno spazio di Banach è riflessivo, allora si può
cambiare la sua norma in una equivalente in modo che sia il nuovo spazio normato ottenuto sia il
suo duale (con la norma duale corrispondente) siano strettamente convessi.
iii) Le proprietà di regolarità della mappa di dualità, sulla quale abbiamo detto qualcosa nel
Paragrafo V.3, dipendono da proprietà di stretta convessità dello spazio o del suo duale e migliorano
in ipotesi di tipo uniforme convessità.
1.7. Esercizio. Si dimostri che ogni spazio normato strettamente convesso di dimensione finita
è uniformemente convesso.
1.8. Esempio. Costruiamo una norma in ℓ 2 che rende lo spazio strettamente convesso ma non
uniformemente convesso. Usiamo le notazioni � · �2 per la norma usuale in ℓ 2 e | · |p per la
norma (I.5.17) in K 2 : |z|p = (|z1| p + |z2| p ) 1/p per z ∈ K 2 . Osservato preliminarmente che
|z|p ≤ 2 1/p |z|2 e |z|2 ≤ 2 1/2 |z|p per ogni z ∈ K 2 , vediamo che la norma � · � che ci accingiamo
a definire è effettivamente ben definita in ℓ 2 e addirittura equivalente alla norma � · �2 . Fissiamo
una successione {pk} di numeri reali > 1 convergente a 1 e definiamo la norma � · � mediante
�x� 2 =
∞�
k=1
|(x2k−1, x2k)| 2 pk
per x ∈ ℓ2 .
Dimostriamo che ℓ 2 con tale norma è strettamente convesso ma non uniformemente convesso. Per
la stretta convessità ricorriamo all’Osservazione V.3.9. Siano dunque x, y ∈ ℓ 2 non nulli tali che
�x + y� = �x� + �y� : dobbiamo dimostrare che x = λy per un certo λ > 0 . Per k ≥ 1 poniamo
ξk = (x2k−1, x2k) e ηk = (y2k−1, y2k) così che �x� = �{|ξk|pk }�2 e �y� = �{|ηk|pk }�2 . Abbiamo
�x� + �y� = �x + y� = �{|ξk + ηk|pk }�2 ≤ �{|ξk|pk } + {|ηk|pk }�2
≤ �{|ξk|pk }�2 + �{|ηk|pk }�2 = �x� + �y�.
Deduciamo che le due disuguaglianze della catena sono uguaglianze e otteniamo le uguaglianze
|ξk + ηk|pk = |ξk|pk + |ηk|pk per ogni k e �{|ξk|pk } + {|ηk|pk }�2 = �{|ξk|pk }�2 (1.2)
solo la prima delle quali merita un commento. Essa segue dall’uguaglianza derivata dalla prima
disuguaglianza della catena tenendo conto che |ξk +ηk|pk ≤ |ξk|pk +|ηk|pk per ogni k per cui anche
una sola disuguaglianza stretta al posto dell’uguaglianza in (1.2) porterebbe a una contraddizione.
Usiamo sia la stretta convessità di ℓ 2 con la norma hilbertiana � · �2 sia quella di K 2 con la
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Gianni Gilardi