G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 6
Spazi riflessivi
Nel capitolo precedente abbiamo incontrato spesso l’ipotesi di riflessività. In questo capitolo
trattiamo la questione in dettaglio. Ricordiamo che la definizione di isomorfismo canonico e quella
di spazio riflessivo sono state date nella Definizione V.4.1.
1. Classi di spazi riflessivi
Questo paragrafo riguarda essenzialmente condizioni sufficienti per la riflessività. Resta inteso che
J denota l’isomorfismo canonico dello spazio considerato di volta in volta.
1.1. Teorema. Ogni spazio normato V di dimensione finita è riflessivo.
Dimostrazione. Si ha dim J(V ) = dim V e J(V ) è un sottospazio di V ∗∗ . D’altra parte si ha anche
dim V ∗ = dim V per l’Esempio III.3.1, per cui dim V ∗∗ = dim V ∗ = dim V . Segue dim J(V ) = dim V ∗∗ e
quindi che J(V ) = V ∗∗ .
1.2. Teorema. Ogni spazio di Hilbert è riflessivo.
Dimostrazione. Consideriamo dapprima il caso reale. Siano H lo spazio in esame e R : H → H ∗ il
corrispondente isomorfismo di Riesz, che, lo ricordiamo, rende vera l’uguaglianza 〈Rx, y〉 = (x, y) per ogni
x, y ∈ H . Osservato che R −1 : H ∗ → H è pure un isomorfismo, deduciamo, grazie al Teorema V.8.10, che
anche (R −1 ) ∗ : H ∗ → H ∗∗ è un isomorfismo. Dunque il teorema resta dimostrato se riusciamo a provare
che (R −1 ) ∗ R coincide con l’isomorfismo canonico J di H . Siano dunque x ∈ H e f ∈ H ∗ . Si ha
〈(R −1 ) ∗ Rx, f〉 = 〈Rx, R −1 f〉 = (x, R −1 f) = (R −1 f, x) = 〈RR −1 f, x〉 = 〈f, x〉 = 〈Jx, f〉
e la dimostrazione del caso reale è conclusa. Il caso complesso procede allo stesso modo: l’operatore R di
Riesz però è ora un anti-isomorfismo. Occorre allora dimostrare l’analogo del Teorema V.8.10 nel caso degli
anti-isomorfismi. Tuttavia non ci sono difficoltà ad apportare queste modifiche.
1.3. Teorema. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito. Se 1 < p < +∞ , allora lo spazio
L p (Ω) è riflessivo.
Dimostrazione. Sia q = p ′ , l’esponente coniugato di p . Allora p < +∞ e q < +∞ e il Teorema III.3.4
di Riesz vale per entrambi gli spazi L p (Ω) e L q (Ω) . Possiamo allora considerare i corrispondenti isomorfismi
di Riesz Rp : L q (Ω) → (L p (Ω)) ∗ e Rq : L p (Ω) → (L q (Ω)) ∗ (cfr. (III.3.3)). Grazie al Teorema V.8.10,
è un isomorfismo anche l’operatore (R−1 p ) ∗ : (Lq (Ω)) ∗ → (Lp (Ω)) ∗∗ . Allora, come nella dimostrazione
precedente, tutto si riduce a dimostrare che la composizione (R−1 p ) ∗Rq coincide con l’isomorfismo canonico
Jp di Lp (Ω) . Siano dunque u ∈ Lp (Ω) e f ∈ (Lp (Ω)) ∗ . Si ha
〈(R −1
p ) ∗ Rq u, f〉 = 〈Rq u, R −1
�
p f〉 = u (R
Ω
−1
�
p f) dµ = (R
Ω
−1
p f) u dµ = 〈RpR −1
p f, u〉 = 〈f, u〉 = 〈Jp u, f〉
e la dimostrazione è conclusa.
1.4. Osservazione. I casi p = 1 e p = ∞ , esclusi dal teorema precedente, sono davvero
eccezionali (vedi (V.11.10)). Una dimostrazione semplice di questo fatto utilizza un risultato successivo
per cui ritorneremo sulla questione più avanti.
Non possiamo tacere una condizione legata alla riflessività, l’uniforme convessità, che definiamo
di seguito. Questa è poi di notevole importanza in varie questioni di Analisi Funzionale.