G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
4.12. Corollario. Siano V e W due spazi normati con V sottospazio vettoriale di W . Allora
l’immersione di V in W è continua se e solo se esiste una costante M ≥ 0 tale che �x�W ≤ M�x�V
per ogni x ∈ V .
4.13. Corollario. Siano V uno spazio vettoriale. Due norme � · � ′ e � · � ′′ in V inducono su
V la stessa topologia se e solo se esse sono equivalenti.
Dimostrazione. L’equivalenza topologica delle due norme equivale al fatto che l’applicazione identica i
di V è continua quando V è munito di una qualunque delle due norme se pensato come dominio di i ed è
munito dell’altra se pensato come codominio di i . Esprimendo tali continuità per mezzo del Teorema 4.11,
vediamo allora che esse equivalgono alle condizioni della Definizione 3.19.
4.14. Osservazione. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Allora sappiamo che
tutte le norme in V sono equivalenti fra loro. In altre parole V ha un’unica struttura vettoriale
topologica normabile. Ma si può dimostrare ben di più: su V c’è un’unica struttura vettoriale
topologica, cioè esiste una e una sola topologia che rende V spazio vettoriale topologico. Dunque,
a meno di isomorfismi, V è uno spazio euclideo.
5. Esempi di spazi normati e prehilbertiani
In questo paragrafo diamo un elenco significativo di esempi di spazi normati. Alcuni di essi sono
anche prehilbertiani mentre altri non lo sono. Riguardo a questa seconda categoria, notiamo che
in certi casi si può scegliere una norma equivalente indotta da un prodotto scalare, mentre in altri
casi ciò non è possibile, anche se allo stato attuale delle cose non siamo in grado di giustificare tale
impossibilità.
5.1. Esempio. Abbiamo già visto il caso dello spazio euclideo Kn . Nello stesso spazio, tuttavia,
si possono introdurre altre norme, necessariamente equivalenti a quella euclidea. Due di esse sono
date dalle formule
|x|1 =
n�
i=1
|xi| e |x|∞ = max
i=1,...,n |xi| se x = (x1, . . . , xn). (5.1)
Nessuna delle due è prehilbertiana se n > 1 , come si vede verificando la regola del parallelogrammo.
Altre norme in K n saranno introdotte tra breve. Naturalmente lo stesso discorso vale per un
qualunque spazio vettoriale di dimensione finita.
5.2. Esempio (funzioni limitate). Sia X un insieme non vuoto. Denotiamo con B(X) lo
spazio vettoriale delle funzioni v : X → K limitate (bounded in inglese, da cui la notazione B )
munito della norma
�v� = sup |v(x)|.
x∈X
Si ottiene uno spazio normato (non prehilbertiano se X ha più di un elemento). Se X è finito
e ha n elementi, allora B(X) è algebricamente isomorfo a Kn . Scelto un isomorfismo algebrico,
questo diventa un isomorfismo isometrico se Kn è munito della norma | · |∞ definita dalla (5.1).
In particolare la norma scelta in B(X) è equivalente a una che rende prehilbertiano lo spazio.
Se invece l’insieme X è infinito nessuna norma equivalente alla precedente è prehilbertiana. La
convergenza indotta dalla norma considerata è la convergenza uniforme.
5.3. Esempio (funzioni continue limitate). Sia S uno spazio topologico. Il sottospazio
Cb(S) di B(S) costituito dalle funzioni continue e limitate è uno spazio normato se munito della
norma ottenuta restringendo a Cb(S) la norma di B(S) (si parlerà di norma indotta da B(S) ).
Dimostriamo che Cb(S) è chiuso in B(S) . Siano infatti {vn} una successione di elementi di Cb(S)
convergente uniformemente a v ∈ B(S) e x0 ∈ S . Allora, per ogni n e per ogni x ∈ S , si ha
|v(x) − v(x0)| ≤ |v(x) − vn(x)| + |vn(x) − vn(x0)| + |vn(x0) − v(x0)| ≤ 2�v − vn� + |vn(x) − vn(x0)|.
Fissato ora ε > 0 , possiamo scegliere prima n in modo che la norma dell’ultimo membro sia ≤ ε
e poi un intorno J di x0 in modo che sia ≤ ε l’ultimo termine per ogni x ∈ J . Per tali x ,
dunque, il primo membro risulta ≤ 3ε .
Analisi Funzionale
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