G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
della quale si cercano soluzioni u : (0, +∞) → L 2 (R d ) di classe C 1 secondo una definizione
opportuna di C 1 . Con le notazioni dell’Esempio 12.21 con V = H 1 (R d ) e H = L 2 (R d ) , l’equazione
(12.27) diventa infatti
(u ′ (t), v) + ((u(t), v(t))) = 0
�
per ogni v ∈ V cioè
u ′ �
�
v dx + ∇u · ∇v dx + uv dx = 0 per ogni v ∈ H1 (Rd )
R d
R d
R d
che è una versione generalizzata della (12.28).
Notiamo che il corrispondente problema di Cauchy u(0) = u0 può essere risolto anche in
ambito astratto. Ad esempio, se lo si discretizza mediante un metodo di Eulero implicito, si ottiene
una sequenza di problemi “stazionari” della forma
un+1 − un
τ
+ ξn+1 = 0 e ξn+1 ∈ ∂f(un+1)
ove τ è il passo di discretizzazione e un dovrà essere un’approssimazione di u(nτ) . Ora
l’uguaglianza precedente si riscrive come
εun+1 + ξn+1 = εun ove ε = 1/τ
per cui tali problemi possono essere risolti l’uno dopo l’altro, grazie al Teorema 12.26. Naturalmente
questo è solo il primo passo di una possibile strategia verso un teorema di esistenza oppure un
metodo di approssimazione della soluzione se si sa già che il problema di Cauchy è ben posto.
Analisi Funzionale
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