G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
12.27. Osservazione. L’analogo enunciato per spazi di Banach vale se V è uno spazio riflessivo
strettamente convesso con il suo duale e si ottiene rimpiazzando la (12.25) con le condizioni seguenti
εF(x) + ξ = z e ξ ∈ ∂f(x)
ove F : V → V ∗ è l’applicazione di dualità di V . Ora z appartiene a V ∗ anziché a V .
12.28. Osservazione. Più in generale si può considerare l’equazione αx+βξ = z in sostituzione
della prima delle (12.25) con α, β > 0 assegnati (si prende ε = α/β e si rimpiazza z con z/β
allo stesso tempo) e il caso particolare importante è quello dell’equazione x + εξ = z . Dunque,
fissato ε > 0 , per ogni z ∈ H esiste una e una sola coppia (x, ξ) ∈ H × H tale che x + εξ = z
e ξ ∈ ∂f(x) . Possiamo allora considerare l’applicazione Aε : H → H che a ogni z ∈ H associa
(z − x)/ε , ove x è costruito come detto. Tale applicazione è detta regolarizzata di Yosida di ∂f
e costituisce un’ottima approssimazione di ∂f . Ciò è vero in generale (pur di precisare il significato
delle parole) e la cosa è chiara nei casi particolari. Ad esempio, nel caso V = R , prendiamo come
f l’indicatrice di (−∞, 0] , per cui ∂f(x) = {0} se x < 0 , ∂f(0) = [0, +∞) e ∂f(x) = ∅ se
x > 0 . Allora, se z ≤ 0 o z > 0 , la coppia (x, ξ) di cui sopra è (z, 0) o (0, z/ε) rispettivamente,
per cui (z − x)/ε vale 0 o z/ε nei due casi. Abbiamo pertanto Aε(z) = z + /ε per ogni z ∈ R ,
ed è chiaro come la funzione Aε approssimi ∂f regolarizzandolo. Si noti che la sua primitiva nulla
in 0 approssima proprio la funzione f di partenza (si colleghi con la (12.22), come anticipato). La
regolarizzazione di Yosida (le cui proprietà sono ben note e che in forma opportuna e complicata
si estende al caso degli spazi di Banach riflessivi) è particolarmente utile in problemi che fanno
intervenire sottodifferenziali irregolari: il problema che si ottiene sostituendo il sottodifferenziale
con la sua regolarizzata, infatti, suona come un problema che contemporaneamente approssima
quello di partenza ed è più facilmente risolubile in quanto più regolare.
L’altra conseguenza importante del Teorema 12.26 è il corollario che dimostriamo di seguito
nel caso hilbertiano e che pure ha un’opportuna estensione al caso degli spazi di Banach riflessivi.
12.29. Corollario. Siano H uno spazio di Hilbert e f : H → (−∞, +∞] una funzione convessa
propria s.c.i. Allora ∂f è massimale fra gli operatori A : H → 2 H monotoni, l’ordinamento rispetto
al quale vale la condizione di massimalità essendo quello dell’inclusione dei grafici.
Dimostrazione. Sia A : H → 2 H un operatore monotono il cui grafico include quello di ∂f . Dobbiamo
dimostrare che A = ∂f . Siano dunque x0 ∈ H e y0 ∈ A(x0) : dimostriamo che y0 ∈ ∂f(x0) . A tal fine
risolviamo la (12.25) con ε = 1 e z = x0 + y0 : troviamo (x, ξ) ∈ H × H tale che x + ξ = x0 + y0 e
ξ ∈ ∂f(x) . Siccome (x, ξ) ∈ G(∂f) , segue che (x, ξ) ∈ G(A) , cioè che ξ ∈ A(x) . Siccome x0 − x = ξ − y0
e A è monotono, deduciamo che
−�x − x0� 2 = (ξ − y0, x − x0) ≥ 0 da cui x = x0 .
Segue allora anche ξ = y0 . Ma ξ ∈ ∂f(x) per costruzione. Dunque y0 ∈ ∂f(x0) .
12.30. Osservazione. Si può dimostrare che, se H è monodimensionale, ogni operatore massimale
monotono A : H → 2 H è il sottodifferenziale di una funzione f : H → (−∞, +∞] convessa
propria s.c.i. L’analoga affermazione per spazi di dimensione > 1 è, invece, falsa.
12.31. Osservazione. La nozione di sottodifferenziale (e più in generale quella di operatore
massimale monotono) ha applicazioni importanti, ad esempio, nella teoria delle equazioni a derivate
parziali. Infatti, prendendo come spazio ambiente uno spazio di Sobolev, diversi operatori a derivate
parziali, lineari o meno, possono essere espressi in termini di sottodifferenziali. Così certe equazioni
di evoluzione alle derivate parziali, lineari o meno, possono essere scritte nella forma
u ′ (t) + ξ(t) = 0 e ξ(t) ∈ ∂f(u(t)) (12.27)
e un esempio lineare è l’equazione del tipo del calore (ove ∆ = div grad , il laplaciano)
144
∂u(x, t)
∂t − ∆u(x, t) + u(x, t) = 0 in Rd × (0, +∞) (12.28)
Gianni Gilardi