G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
12.26. Teorema. Siano H uno spazio di Hilbert reale, identificato al suo duale H ∗ tramite la
mappa di Riesz R , e f : H → (−∞, +∞] una funzione convessa propria s.c.i. Allora, per ogni
ε > 0 e z ∈ H , esiste una e una sola coppia (x, ξ) ∈ H × H tale che
Inoltre questa dipende con continuità da z nel senso seguente
εx + ξ = z e ξ ∈ ∂f(x). (12.25)
�x1 − x2� ≤ 1
ε �z1 − z2� e �ξ1 − ξ2� ≤ �z1 − z2� per ogni z1, z2 ∈ H (12.26)
ove (xi, ξi) è la coppia corrispondente a zi per i = 1, 2 .
Dimostrazione. Nel caso H = R e f anche differenziabile, la (12.25) si riscriverebbe f ′ (x) + εx − z = 0
e sarebbe soddisfatta dall’eventuale punto di minimo della funzione x ↦→ f(x) + (ε/2)x 2 − xz . Consideriamo
allora la funzione
ϕ : H → (−∞, +∞] definita da ϕ(x) = f(x) + ε
2 �x�2 − (x, z)
e dimostriamo che essa ha minimo. La funzione x ↦→ �x� 2 , x ∈ H , è convessa per l’Esercizio 11.5. Dunque
anche ϕ è convessa, data la convessità di f e la linearità dell’ultimo contributo. Inoltre ϕ è s.c.i. in quanto
somma di tre funzioni s.c.i. e propria dato che f lo è. Scelti infine ξ ∈ H ∗ e c ∈ R dati dal Lemma 11.8,
otteniamo per ogni x ∈ H
ϕ(x) ≥ 〈ξ, x〉 + c + ε
2 �x�2 − (x, z) = ε
2 �x�2 + (ξ − z, x) + c
≥ ε
2 �x�2 − �ξ − z� �x� + c
e deduciamo che ϕ è anche coerciva. Applicando il Teorema 11.10, concludiamo che esiste un punto x ∈ H di
minimo per ϕ . Dimostriamo che, posto ξ = z−εx , la coppia (x, ξ) verifica le (12.25). La prima è soddisfatta
per costruzione e ora verifichiamo che ξ ∈ ∂f(x) . A tale scopo conviene applicare la Proposizione 12.18
prendendo come f la funzione
λ : y ↦→ ε
2 �y�2 − (z, y), y ∈ H
e come g l’attuale funzione f . L’Esempio 12.19, applicato con ϕ = Rz e con la sola variante del fattore ε ,
fornisce la derivata di Gâteaux di λ : λ ′ (y) = εRy − ϕ = R(εy − z) . Siccome stiamo identificando H ∗ con
H tramite R , ciò significa λ ′ (y) = εy −z . Essendo x di minimo per f , concludiamo che −λ ′ (x) ∈ ∂f(x) ,
vale a dire −(εx − z) ∈ ∂f(x) , cioè appunto ξ = z − εx ∈ ∂f(x) .
Dimostriamo ora sia l’unicità sia la (12.26) controllando che, assegnati comunque z1, z2 ∈ H , la (12.26)
vale se (xi, ξi) è una coppia qualunque di elementi di H che verifica la (12.25) con z = zi . L’applicazione
di ciò al caso z1 = z2 fornisce in particolare l’unicità. Siano dunque zi, xi, ξi come appena specificato.
Allora risulta
ε(x1 − x2) + (ξ1 − ξ2) = z1 − z2 , ξ1 ∈ ∂f(x1) e ξ2 ∈ ∂f(x2).
Moltiplicando scalarmente per x1 − x2 oppure per ξ1 − ξ2 otteniamo
ε�x1 − x2� 2 + (ξ1 − ξ2, x1 − x2) = (z1 − z2, x1 − x2)
ε(ξ1 − ξ2, x1 − x2) + �ξ1 − ξ2� 2 = (ξ1 − ξ2, z1 − z2).
Siccome (ξ1 − ξ2, x1 − x2) ≥ 0 per la Proposizione 12.24, deduciamo rispettivamente
e le (12.26) seguono immediatamente.
Analisi Funzionale
ε�x1 − x2� 2 ≤ (z1 − z2, x1 − x2) ≤ �z1 − z2� �x1 − x2�
�ξ1 − ξ2� 2 ≤ (ξ1 − ξ2, z1 − z2) ≤ �z1 − z2� �ξ1 − ξ2�
143