G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Osserviamo che, pur di estrarre ulteriormente, vale la convergenza uε → u q.o. in Ω . Allora dalla
prima delle (12.20) deduciamo che ϕ(u(x)) ≤ lim infε→0 ϕε(uε(x)) q.o. in Ω . Usando anche il
Lemma di Fatou, abbiamo allora
�
�
ϕ(u) dx + (ξ, v − u) ≤ lim inf
Ω
Ω ε→0 ϕε(uε) dx + (ξ, v) − (ξ, u)
�
≤ lim inf
ε→0
= lim inf
ε→0
Ω
� �
ϕε(uε) dx + lim(ξε,
v) − lim(ξε,
uε)
ε→0 ε→0
Ω
�
ϕε(uε) dx + (ξε, v) − (ξε, uε)
≤ lim inf
ε→0
�
Ω
�
ϕε(v) dx ≤
Ω
ϕ(v) dx.
Dunque la (12.18) è dimostrata e la Proposizione 12.22 assicura che ξ ∈ ∂ϕ(u) q.o. in Ω .
Per quanto riguarda le (12.20), presentiamo due esempi: per ciascuno dei due, accanto alla
definizione di ϕ , diamo una scelta di ϕε che realizza le condizioni (12.20) appunto.
ϕ(r) = cosh r − 1 (da cui ϕ ′ � r sinh s
(r) = sinh r) e ϕε(r) =
ds (12.21)
0 1 + ε sinh s
� r
ϕ(r) = I (−∞,0](r) e ϕε(r) = 1
2ε (r+ ) 2 =
0
s +
ε ds ove ( · )+ è la parte positiva. (12.22)
Si noti, nella seconda, il legame con la regolarizzata di Yosida di ∂ϕ cui accenneremo tra breve.
Ora torniamo a considerazioni di carattere generale. Dimostriamo un risultato molto semplice,
che generalizza il fatto che la derivata f ′ è una funzione non decrescente se f : R → R è una
funzione convessa differenziabile. Questa condizione, infatti, si può riscrivere come segue
(f ′ (x) − f ′ (y))(x − y) ≥ 0 per ogni x, y ∈ R
cioè in termini di prodotti di incrementi anziché di quozienti.
12.24. Proposizione. Siano V uno spazio normato e f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa
propria s.c.i. Allora il suo sottodifferenziale verifica la seguente condizione di monotonia
〈ξ − η, x − y〉 ≥ 0 per ogni x, y ∈ V , ξ ∈ ∂f(x) e η ∈ ∂f(y) . (12.23)
Dimostrazione. Siano infatti x, y, ξ, η come specificato nella (12.23). Allora
f(x) + 〈ξ, y − x〉 ≤ f(y) e f(y) + 〈η, x − y〉 ≤ f(x).
Sommando membro a membro e riordinando si ottiene la (12.23).
12.25. Definizione. Sia V uno spazio normato. Una funzione A : V → 2V ∗
monotono quando
è detta operatore
〈ξ − η, x − y〉 ≥ 0 per ogni x, y ∈ V , ξ ∈ A(x) e η ∈ A(y) . (12.24)
Il grafico di A è l’insieme G(A) = {(x, ξ) ∈ V × V ∗ : ξ ∈ A(x)} .
Il risultato che segue e che diamo solo nel caso hilbertiano generalizza quanto detto all’inizio
del paragrafo circa la derivata di una funzione convessa differenziabile. Si noti che esso implica
immediatamente che D(∂f) non è vuoto se f è anche s.c.i.: basta infatti applicare il teorema,
ad esempio, con z = 0 . Ma il corollario che seguirà dice molto di più, dato che esso lascia intuire
che il grafico di un sottodifferenziale è un insieme molto ricco.
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Gianni Gilardi