G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
è la funzione data proprio dalla formula g = −u ′′ + ξ e h(0) vale contemporaneamente α e β ,
ma ciò non è possibile. Al contrario, è banale controllare che il problema (12.17) è risolto dalla
coppia (u, ξ) . Siccome, come osservato, quest’ultimo ha al massimo una soluzione, vediamo che è
mal posto il problema (12.13) e concludiamo che un problema di tipo (12.13) con h monotona e
discontinua va impostato nella forma più generale (12.17): la funzione ξ è una seconda incognita
e sarà lei a scegliersi i valori che deve assumere nei punti x per i quali u(x) è un punto di non
differenziabilità di ϕ (cioè, nel caso D(ϕ) = R , un punto di salto della derivata ϕ ′ ). Notiamo
che, se (12.17) ha una soluzione regolare u (necessariamente unica), allora tale u risolve non
un’equazione a derivate parziali in Ω ma l’inclusione differenziale −∆u + ∂ϕ(u) ∋ g q.o. in Ω ,
che nei casi concreti si legge come un sistema di disuguaglianze e di uguaglianze. Ad esempio, nel
caso in cui ϕ è la parte positiva e u è regolare, abbiamo: ∆u+g = 1 , ∆u+g = 0 e 0 ≤ ∆u+g ≤ 1
q.o. rispettivamente negli insiemi in cui u > 0 , u < 0 e u = 0 .
Veniamo all’esistenza, che ancora possiamo cercare di ottenere tentando di minimizzare il funzionale
(12.16), nella definizione del quale dobbiamo leggere +∞ per le funzioni v ∈ H1 0 (Ω) tali che
ϕ(v) �∈ L1 (Ω) , in particolare per le funzioni v ∈ H1 0 (Ω) che non verificano il vincolo v(x) ∈ D(ϕ)
su un insieme di misura positiva, cioè nello spirito della (12.11). Ora, la ricerca del minimo non
offre problemi: se ϕ ≥ 0 si ragiona esattamente come sopra; in caso contrario, come evidenziato
nella dimostrazione della Proposizione 12.22, abbiamo ϕ ≥ P per un certo polinomio di grado ≤ 1
e il discorso si adatta facilmente (il polinomio P , se rema contro la coercività, non è peggio del
termine lineare già presente). Occorre allora vedere che, se u è un punto di minimo per ψ , allora
esiste ξ ∈ L2 (Ω) tale che la coppia (u, ξ) risolva le (12.17). Vediamo come questa strategia offra
(Ω) e
qualche ostacolo. Per vedere più chiaramente come vanno le cose, conviene porre V = H1 0
H = L2 (Ω) e introdurre la terna hilbertiana (V, H, V ∗ ) . A tale proposito ricordiamo la Defini-
zione IV.5.5 e le notazioni (IV.5.3). Restando inteso che la norma in V è data da � · � = �∇( · )�2
come detto sopra, il prodotto scalare corrispondente (( · , · )) è definito da ((w, z)) = �
∇w · ∇z dx
Ω
per w, z ∈ V . Inoltre introduciamo il funzionale, che qui chiamiamo f , definito su H tramite
la (12.11). Siccome u è punto di minimo, si ha ϕ(u) ∈ L1 (Ω) . Siano v ∈ V tale che ϕ(v) ∈ L1 (Ω)
e t ∈ (0, 1) . Allora ϕ(u + t(v − u)) ∈ L1 (Ω) e risulta
f(u) + 1
2 �u�2 − (g, u) ≤ f(u + t(v − u)) + 1
2 �u + t(v − u)�2 − (g, u + t(v − u)).
Usando la convessità di f che discende da quella di ϕ deduciamo
f(u) + 1
2 �u�2 − (g, u)
≤ f(u) + t(f(v) − f(u)) + 1
2 �u�2 + t((u, v − u)) + t2
2 �v − u�2 − (g, u) − t(g, v − u).
Semplificando, dividendo per t e riordinando, otteniamo
f(u) − ((u, v − u)) + (g, v − u) ≤ f(v) cioè f(u) + 〈−Ru + g, v − u〉 ≤ f(v)
ove R : V → V ∗ è l’operatore di Riesz associato al prodotto scalare (( · , · )) . Tutto ciò vale dunque
per ogni v ∈ V tale che ϕ(v) ∈ L 1 (Ω) , quindi anche per ogni v ∈ V . Ora la disuguaglianza
ottenuta non coincide con le (12.17): per avere qualcosa di simile all’equazione dobbiamo scegliere
ξ = −Ru+g , che è un elemento di V ∗ e non di H . Tuttavia, se tale ξ appartiene ad H , allora la
disuguaglianza in questione diventa f(u) + (ξ, v − u) ≤ f(v) per ogni v ∈ V e sembra ragionevole
la possibilità di estenderla a ogni v ∈ H . Segue allora ξ ∈ ∂f(u) e quindi ξ ∈ ϕ(u) q.o. in Ω
per la Proposizione 12.22, così che (u, ξ) risolve le (12.17). Notiamo che la richiesta −Ru + g ∈ H
coincide con Ru ∈ H , il che significa che esiste in L 2 (Ω) il laplaciano debole −∆u di u , e non è
chiaro come la via seguita possa portare a soddisfare questa condizione.
Dunque non è ovvio come superare gli ostacoli trovati, per cui diamo qualche indicazione su
un’altra via possibile, quella dell’approssimazione. Supponendo senz’altro ϕ ≥ 0 e ϕ(0) = 0 ,
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Gianni Gilardi