G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
12.19. Esempio. Sia V uno spazio di Hilbert. Per coordinare le notazioni con quelle di un
esempio successivo denotiamo con (( · , · )) il prodotto scalare. Vogliamo determinare il sottodifferenziale
della funzione f : V → R data da f(x) = (1/2)�x� 2 senza identificare V con il suo duale
tramite l’isomorfismo di Riesz. A tale scopo vediamo se f è differenziabile secondo Gâteaux in x
usando l’Osservazione 12.13. Per x, v ∈ V abbiamo
f(x + tv) = 1
2 �x�2 + t((x, v)) + t2
2 �v�2 da cui
d
�
�
f(x + tv) � = ((x, v)) = 〈Rx, v〉.
dt t=0
Dunque f è G-differenziabile in x e f ′ (x) = Rx per ogni x ∈ V . Per la Proposizione 12.16
concludiamo che ∂f(x) = {Rx} . Dunque ∂f : V → V ∗ coincide con l’isomorfismo di Riesz.
Ora aggiungiamo a f un contributo lineare considerando la funzione g : V → R data dalla
formula g(x) = (1/2)�x� 2 − 〈ϕ, x〉 , ove ϕ ∈ V ∗ è assegnato. Adattando il calcolo fatto abbiamo
∂g(x) = {Rx − ϕ} . Allora un punto x ∈ V è punto di minimo per g se e solo se esso verifica
0 ∈ ∂g(x) , cioè Rx = ϕ .
Si noti che questo fatto può essere usato per dimostrare il Teorema di Riesz nel caso reale.
Ecco la traccia: dato ϕ ∈ V ∗ , per trovare x ∈ V tale che Rx = ϕ , minimizziamo il funzionale g
dimostrando che, grazie alla convessità di C e alla regola del parallelogrammo, ogni successione
minimizzante è di Cauchy, dunque convergente per la completezza.
12.20. Osservazione. Si può dimostrare che, nel caso di un generico spazio normato, il sottodifferenziale
della funzione x ↦→ (1/2)�x�2 è l’applicazione di dualità F : V → 2V ∗
data dalla Definizione
3.1. Se la dimostrazione di questo fatto è complessa in generale, un collegamento fra il sottodifferenziale
in questione e F è dato dall’Esempio 11.14 con V = Lp (Ω) e dall’Osservazione 11.16
con V spazio normato generico.
12.21. Esempio. Usiamo la Definizione IV.5.5 e le notazioni (IV.5.3). Sia (V, H, V ∗ ) una terna
hilbertiana reale e si consideri la funzione f : H → (−∞, +∞] definita dalle formule
f(v) = 1
2 �v�2
se v ∈ V e f(v) = +∞ altrimenti.
La funzione f è ovviamente convessa e propria. Meno ovvio è che essa sia anche s.c.i., per cui
facciamo questa verifica. Siano xn → x in H e λ = lim inf f(xn) : dobbiamo controllare che
f(x) ≤ λ . Possiamo supporre λ < +∞ , f(xn) < +∞ per ogni n e che {f(xn)} converga
a λ (pur di passare a una sottosuccessione opportuna). Dalla limitatezza dell’ultima successione
deduciamo che la successione {xn} è limitata in V . Dunque, per il Teorema di compattezza
debole IV.5.1, possiamo estrarre una sottosuccessione {xnk } convergente debolmente in V a un
elemento y ∈ V . Allora abbiamo anche xnk ⇀ y in H . Ma {xnk } converge a x in H , dunque
anche debolmente a x in H . Per l’unicità del limite debole deduciamo y = x . Quindi xnk ⇀ x
in V . D’altra parte {f(xnk )} converge a λ . Siccome la restrizione di f a V è convessa e s.c.i.
(perché continua) rispetto alla topologia di V , deduciamo che f(x) ≤ λ .
Ora che è stabilita anche la s.c.i., vogliamo determinare il sottodifferenziale di f identificando
H ad H ∗ ma non V a V ∗ tramite l’isomorfismo di Riesz. Supponiamo x ∈ D(f) e ξ ∈ ∂f(x) .
Allora f(x) + (ξ, y − x) ≤ f(y) per ogni y ∈ D(f) . Osservato che D(f) = V , possiamo scrivere
〈ξ, y − x〉 anziché (ξ, y − x) e riconosciamo che il problema è identico a quello dell’Esempio 12.19:
la funzione f dell’esempio citato è la restrizione a V della f attuale. Ora abbiamo solo l’ipotesi
supplementare che ξ ∈ H che là non avevamo. Deduciamo pertanto che ξ = Rx , ove R è
l’isomorfismo di Riesz dello spazio V , e che Rx = ξ ∈ H . Viceversa, se x ∈ V e Rx ∈ H , si
controlla senza difficoltà che ξ ∈ ∂f(x) . Concludiamo che
D(∂f) = {x ∈ V : Rx ∈ H} = R −1 (H) e ∂f(x) = {Rx} per x ∈ R −1 (H) .
In altre parole ∂f è la restrizione di R a R −1 (H) .
Se poi consideriamo la funzione g : H → (−∞, +∞] data da g(x) = f(x) − (z, x) ove z ∈ H
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Gianni Gilardi