G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
di V , l’inviluppo convesso di A è l’insieme
�
�
co A = ϑixi : ϑi ≥ 0, xi ∈ A, �
�
ϑi = 1
ove resta inteso che le somme considerate siano finite.
i
4.5. Osservazione. Siccome tx + (1 − t)y = y + t(x − y) e i ruoli di x e y si scambiano quando
si scambia t con 1 − t , è naturale chiamare l’insieme {tx + (1 − t)y : t ∈ [0, 1]} segmento
congiungenete x e y , senza specificare l’ordine dei due punti. Dunque un insieme è convesso
se e solo se esso contiene tutto il segmento che congiunge due suoi punti qualunque. Notiamo
inoltre che ciascuna delle somme che compaiono nella (4.1) viene chiamata combinazione convessa
dei punti xi . Le combinazioni convesse di due soli punti costituiscono i punti del segmento che li
congiunge. Osserviamo infine che co A è un convesso che include A . Precisamente esso è il più
piccolo convesso che include A .
4.6. Esercizio. Siano V uno spazio vettoriale topologico e C ⊆ V un convesso. Dimostrare
che l’interno e la chiusura di C sono ancora convessi.
4.7. Esercizio. Siano V uno spazio vettoriale topologico e A un aperto non vuoto di V . Si
dimostri che anche co A è aperto.
4.8. Esercizio. Nell’ambito degli spazi vettoriali topologici si diano definizioni ragionevoli di
continuità uniforme e di successione di Cauchy.
Tornando sulla continuità o meno degli operatori lineari, si possono dare condizioni valide in
generale nell’ambito degli spazi vettoriali topologici. Qui ci limitiamo a un solo risultato.
4.9. Proposizione. Siano V e W due spazi vettoriali topologici e L ∈ Hom(V; W) . Allora
sono equivalenti le condizioni seguenti: i) L è continuo; ii) L è continuo nell’origine; iii) L è
continuo in almeno un punto. In particolare V è immerso con continuità in W se e solo se V è
un sottospazio vettoriale di W e ogni intorno dell’origine della topologia di W include un intorno
dell’origine della topologia di V .
Lasciamo al lettore la facile dimostrazione, avvertendolo però che è scorretto ragionare per
successioni in quanto la topologia di uno spazio vettoriale topologico può non essere univocamente
determinata dalla nozione di convergenza delle successioni. Si ha tuttavia
se l’origine di V ha una base numerabile di intorni, allora L è continuo se e solo se
da vn → 0 in V segue Lvn → 0 in W (4.2)
e ciò avviene sicuramente se V è normato. Enunciamo anche un risultato che riguarda la continuità
delle seminorme lasciando la dimostrazione al lettore anche in questo caso.
4.10. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale topologico e p una seminorma in V . Allora
sono equivalenti le condizioni seguenti: i) p è continua; ii) p è continua nell’origine; iii) l’insieme
{x ∈ V : p(x) < 1} è aperto; iv) per ogni r > 0 l’insieme {x ∈ V : p(x) < r} è aperto.
Il caso degli operatori lineari fra spazi normati sarà trattato in un capitolo successivo con
qualche dettaglio. Anticipiamo tuttavia un risultato importante (che implica, fra l’altro, che, in
quell’ambito, la continuità equivale alla lipschitzianità) con due conseguenze (la prima ovvia).
4.11. Teorema. Siano V e W due spazi normati e L : V → W un operatore lineare. Allora
L è continuo se e solo esiste M ≥ 0 tale che �Lx�W ≤ M�x�V per ogni x ∈ V .
Dimostrazione. Per la Proposizione 4.9 basta considerare la continuità in 0 . La condizione dell’enunciato
è ovviamente sufficiente per la continuità in 0 . Sia ora L continuo in 0 . Allora esiste δ > 0 tale che
�Lx� ≤ 1 per ogni x ∈ V verificante �x� ≤ δ e ora mostriamo che possiamo prendere M = 1/δ per
soddisfare le condizione dell’enunciato. Se x ∈ V non è nullo (il caso x = 0 è banale), posto λ = �x�V ,
si ha infatti �δx/λ�V = δ e quindi �Lx�W = (λ/δ)�L(δx/λ)�W ≤ λ/δ = M�x�V .
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i
(4.1)
Gianni Gilardi