G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
Dimostrazione. Sia ξ = f ′ (x) : mostriamo che vale la (12.3). Fissiamo dunque y ∈ D(f) ad arbitrio.
Allora x + t(y − x) ∈ D(f) per ogni t ∈ (0, 1) e risulta
f(x + t(y − x)) ≤ f(x) + t � f(y) − f(x) � per ogni t ∈ (0, 1) , da cui 〈ξ, y − x〉 ≤ f(y) − f(x).
Sia ora ξ ∈ ∂f(x) , cioè verificante la (12.3): mostriamo che ξ = f ′ (x) . Sia v ∈ V non nullo. Se r > 0 è
tale che Br(x) ⊆ D(f) e t ∗ = r/�v� , allora x ± tv ∈ D(f) per t ∈ (0, t ∗ ) . Per tali t abbiamo allora
f(x) + 〈ξ, ±tv〉 ≤ f(x ± tv) da cui
f(x − tv) − f(x)
−t
≤ 〈ξ, v〉 ≤
f(x + tv) − f(x)
t
e prendendo t → 0 deduciamo 〈f ′ (x), v〉 ≤ 〈ξ, v〉 ≤ 〈f ′ (x), v〉 . Dunque ξ = f ′ (x) . Ciò conclude la dimostrazione
della prima parte. L’altra affermazione dell’enunciato si ottiene poi applicando il Teorema 12.10.
12.17. Osservazione. Nell’ambito del risultato precedente, dunque, la (12.5) diventa f ′ (x) = 0 ,
cioè un’equazione anziché un’inclusione come nel caso generale. Di equazione di Eulero-Lagrange
(Osservazione 12.11) si parla più propriamente esattamente in situazioni di questo tipo.
Consideriamo ora la somma di due funzioni f, g : V → (−∞, +∞] convesse proprie s.c.i.: essa
è comunque convessa e s.c.i., ma in generale non propria. Precisamente f + g è propria se e solo se
l’intersezione D(f) ∩ D(g) è non vuota. In tali condizioni ha senso considerare il sottodifferenziale
di f + g ed è immediato verificare che
∂f(x) + ∂g(x) ⊆ ∂(f + g)(x) per ogni x ∈ V (12.8)
ove la somma al primo membro è la somma vettoriale, cioè l’insieme descritto da ξ + η al variare
di ξ ed η nei due sottodifferenziali rispettivamente. Notiamo che, in generale, l’inclusione non
è un’uguaglianza, come mostra l’esempio seguente. Siano C± = B1(±1, 0) ⊂ R 2 e f± = IC± le
corrispondenti indicatrici. Allora f− + f+ è l’indicatrice dell’insieme {(0, 0)} e l’origine è l’unico
punto che ha senso considerare. Abbiamo
∂f−(0, 0) = [0, +∞)×{0} e ∂f+(0, 0) = (−∞, 0]×{0} da cui ∂f−(0, 0)+∂f+(0, 0) = R×{0}
mentre il sottodifferenziale della somma è tutto R 2 .
Il risultato successivo, che riguarda una situazione particolare ma di indubbio interesse, assicura
che nella (12.8) vale l’uguaglianza. Segnaliamo che la condizione
V è riflessivo ed esiste x0 ∈ D(∂f) ∩ D(∂g) interno a D(∂f) o a D(∂g) (12.9)
è sufficiente perché valga l’uguaglianza addirittura per ogni x ∈ V .
12.18. Proposizione. Siano V uno spazio normato, f, g : V → (−∞, +∞] due funzioni convesse
proprie s.c.i. e x ∈ D(f) ∩ D(g) . Se x è interno a D(f) e f è differenziabile secondo
Gâteaux in x , allora vale la formula
∂(f + g)(x) = f ′ (x) + ∂g(x). (12.10)
In particolare x è di minimo per la funzione f + g se e solo se −f ′ (x) ∈ ∂g(x) .
Dimostrazione. Dimostriamo le due inclusioni. Se ζ appartiene al secondo membro, allora ζ = f ′ (x) + η
con η ∈ ∂g(x) . Grazie alla Proposizione 12.16 e alla (12.8), deduciamo che ζ ∈ ∂(f + g)(x) . Supponiamo
ora che ζ appartenga al primo membro della (12.10): dobbiamo dimostrare che ζ appartiene al secondo,
cioè che ζ − f ′ (x) ∈ ∂g(x) . Sia y ∈ D(g) . Siccome x è interno a D(f) , esiste t ∗ ∈ (0, 1) tale che
x + t(y − x) ∈ D(f) per ogni t ∈ (0, t ∗ ) . Per tali t abbiamo allora x + t(y − x) ∈ D(f) ∩ D(g) . Usando
l’ipotesi ζ ∈ ∂(f + g)(x) e la convessità di g abbiamo dunque
f(x) + g(x) + 〈ζ, t(y − x)〉 ≤ f(x + t(y − x)) + g(x + t(y − x)) ≤ f(x + t(y − x)) + g(x) + t � g(y) − g(x) � .
Semplificando fra primo e ultimo membro, riordinando e dividendo per t , deduciamo
f(x + t(y − x)) − f(x)
〈ζ, y − x〉 ≤ + g(y) − g(x) da cui 〈ζ, y − x〉 ≤ 〈f
t
′ (x), y − x〉 + g(y) − g(x).
Ma ciò significa, per l’arbitrarietà di y , che ζ − f ′ (x) ∈ ∂g(x) . Ciò conclude la dimostrazione della prima
parte. L’altra affermazione dell’enunciato si ottiene poi applicando il Teorema 12.10.
Analisi Funzionale
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