G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
12.12. Definizione. Siano V uno spazio normato, x ∈ V e f : Br(x) → R . Diciamo che f è
differenziabile secondo Gâteaux, o G-differenziabile, in x quando esiste ξ ∈ V ∗ tale che
f(x + tv) − f(x)
〈ξ, v〉 = lim
t→0 t
per ogni v ∈ V . (12.6)
L’elemento ξ è detto derivata di Gâteaux di f in x e denotato con f ′ (x) o ∇f(x) .
Naturalmente, nella (12.6), t è la variabile reale. Si riconosce l’estensione del concetto di
derivata direzionale, qui rispetto a un vettore di norma non necessariamente unitaria, ma con la
richiesta ulteriore che la derivata stessa dipenda dal vettore in modo lineare e continuo. Si noti
che la (12.6) individua univocamente il valore 〈ξ, v〉 per ogni v ∈ V , per cui il funzionale ξ è
necessariamente unico e l’ultima parte della definizione ha senso.
12.13. Osservazione. Per quanto riguarda la verifica della differenziabilità secondo Gâteaux e
il calcolo della derivata, si noti che il secondo membro della (12.6) non è altro che la derivata in
t = 0 della funzione (definita in un intorno di t = 0 appunto) t ↦→ f(x + tv) . Basta allora vedere
se tale derivata esiste e se essa dipende da v in modo lineare e continuo.
12.14. Osservazione. Non possiamo tacere sull’estensione della differenziabilità, che, come è
ben noto, è una condizione più restrittiva dell’esistenza delle derivate direzionali, anche se questa
viene accompagnata da una richiesta di linearità rispetto al vettore. Nelle condizioni della Definizione
12.12, diciamo che f è differenziabile secondo Fréchet in x quando esiste ξ ∈ V ∗ tale che
f(x + h) − f(x) − 〈ξ, h〉
f(x + h) = f(x) + 〈ξ, h〉 + o(�h�) per h → 0 , cioè lim
= 0. (12.7)
h→0 �h�
L’elemento ξ è necessariamente unico e viene detto derivata di Fréchet di f in x . Come nel caso
elementare degli spazi euclidei, si vede subito che la differenziabilità secondo Fréchet implica quella
secondo Gâteaux e che le due derivate coincidono. In particolare, per vedere se f è differenziabile
secondo Fréchet e calcolare la derivata, si può controllare la differenziabilità secondo Gâteaux
calcolando, per ogni v ∈ V , il secondo membro della (12.6) e provando che esso dipende da v in
modo lineare e continuo; se tutto ciò ha successo, si cerca di dimostrare che la derivata di Gâteaux
verifica la (12.7), il che può essere vero o meno.
12.15. Osservazione. Anche se in questa sede non siamo interessati all’estensione, notiamo che
le definizioni di derivate di Gâteaux e di Fréchet si possono dare allo stesso modo nel caso in cui la
funzione in gioco assuma valori in uno spazio normato W : in tal caso la derivata è un elemento
di L(V ; W ) . In particolare, se Ω è un aperto di V e f : Ω → W è differenziabile secondo
Fréchet (questo è il tipo di differenziabilità che è più opportuno considerare) in tutti i punti di Ω ,
allora possiamo introdurre la funzione f ′ : Ω → L(V ; W ) che a ogni x ∈ Ω associa la derivata di
Fréchet f ′ (x) e iterare la procedura di derivazione: se ciò riesce in un punto x , abbiamo la derivata
di Fréchet seconda f ′′ (x) ∈ L(V ; L(V ; W )) = L2(V 2 ; W ) , lo spazio delle applicazioni bilineari e
continue da V × V in W . In generale, la derivata di ordine n di f nel punto x è un operatore
f (n) (x) : V n → W n -lineare e continuo. Si può allora generalizzare buona parte dell’usuale calcolo
differenziale. Ad esempio valgono l’estensione del Teorema di Schwarz (se f è differenziabile due
volte secondo Fréchet in x , allora f ′′ (x) è un operatore simmetrico) e della formula di Taylor
con il resto di Peano (in una versione astratta che appare formalmente identica a quella consueta
delle funzioni reali di variabile reale, con l’avvertenza di interpretare la scrittura f (k) (x)h k come
il valore che f (k) (x) assume sulla k -upla formata da k vettori tutti uguali ad h ).
12.16. Proposizione. Siano V uno spazio normato e f : V (−∞, +∞] una funzione convessa
propria s.c.i. Se x è un punto interno a D(f) e f è differenziabile secondo Gâteaux in x , allora
il sottodifferenziale ∂f(x) coincide con l’insieme {f ′ (x)} . In particolare, il punto x è di minimo
per f se e solo se f ′ (x) = 0 .
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Gianni Gilardi