G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
Si noti che, per x ∈ D(f) , la (12.3) è automaticamente soddisfatta per ogni y ∈ V \ D(f) .
Dunque è equivalente richiederla per ogni y ∈ V o per ogni y ∈ D(f) .
Il risultato precedente implica inoltre che il sottodifferenziale ∂f(x) è vuoto in ogni punto x
in cui f non è s.c.i. Di conseguenza, se vogliamo che il dominio del sottodifferenziale sia il più
grande possibile, dobbiamo supporre f s.c.i. Si può dimostrare che
se f è anche s.c.i., allora D(∂f) e D(f) hanno lo stesso interno e la stessa chiusura.
Tale risultato, tuttavia, non si dimostra in due righe.
12.4. Osservazione. Notiamo che l’inclusione D(∂f) ⊆ D(f) può essere stretta già nel caso
V = R e in ipotesi di semicontinuità. Prendiamo infatti la funzione f : R → (−∞, +∞] definita
dalle formule f(x) = − √ x se x ≥ 0 e f(x) = +∞ se x < 0 . Allora f è convessa propria s.c.i. e
si ha: f(0) < +∞ e ∂f(0) = ∅ , cioè 0 ∈ D(f) e 0 �∈ D(∂f) .
12.5. Osservazione. Se V è uno spazio di Hilbert, spesso si identificano V e V ∗ tramite
l’isomorfismo di Riesz, per cui la dualità diventa il prodotto scalare e la (12.3) si riscrive come
Va da sé che ∂f(x) risulta un sottoinsieme di V .
f(x) + (ξ, y − x) ≤ f(y) per ogni y ∈ V . (12.4)
12.6. Esempio. Sia f = IC la funzione indicatrice del convesso chiuso non vuoto C dello
spazio normato V . Allora f è convessa propria s.c.i. e D(f) = C . In particolare ∂f(x) è vuoto
se x �∈ C . Sia ora x ∈ C . Allora la (12.3) equivale alla condizione
〈ξ, y − x〉 ≤ 0 per ogni y ∈ C
Infatti ogni scelta y �∈ C fornisce la disuguaglianza 0 ≤ +∞ , banalmente soddisfatta.
12.7. Esercizio. Determinare ∂IC , ove IC : V → (−∞, +∞] è la funzione indicatrice, in
ciascuno dei casi seguenti: i) V è un generico spazio normato e C è costituito dal solo punto
x0 ∈ V ; ii) V = R e C è un intervallo chiuso, limitato o meno; iii) V è uno spazio di Hilbert
(identificato al duale) e C è un suo sottospazio chiuso; iv) V = R 2 (identificato al duale) e C è
il quadrato [0, 1] 2 oppure il disco chiuso B1(0) .
12.8. Esercizio. Sia f ∈ Hom(V ; R) . Allora, come abbiamo visto nell’Osservazione 10.7, f è
s.c.i. in almeno un punto se e solo se f ∈ V ∗ . Dimostrare che, se f ∈ V ∗ , allora ∂f(x) = {f} per
ogni x ∈ V .
12.9. Esercizio. Siano V uno spazio normato, f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa
propria s.c.i. e ϕ ∈ V ∗ . Si dimostri che
D(∂(f + ϕ)) = D(∂f) e ∂(f + ϕ)(x) = {ξ + ϕ : ξ ∈ ∂f(x)} per ogni x ∈ D(∂f) .
Il risultato che segue si dimostra in modo ovvio: basta infatti esplicitare la (12.3) con la scelta
ξ = 0 . Gli diamo la dignità di teorema perché averlo osservato è importante.
12.10. Teorema. Siano V uno spazio normato, f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa
propria e x ∈ V . Allora vale l’equivalenza
x è un punto di minimo per f se e solo se 0 ∈ ∂f(x) . (12.5)
12.11. Osservazione. Se f è una funzione reale di variabile reale convessa e regolare, x è
punto di minimo se e solo se f ′ (x) = 0 . D’altra parte, si ha in tal caso ∂f(x) = {f ′ (x)} per
ogni x . La (12.5), dunque, appare come l’estensione al caso irregolare della condizione di annullamento
della derivata, per cui si presenta in modo naturale il problema dell’estensione del concetto
di derivata agli spazi normati e lo studio delle sue connessioni con il sottodifferenziale. Questo
è l’oggetto delle considerazioni che seguono. Notiamo che, nelle applicazioni concrete, la (12.5) è
un’equazione o una disequazione, diversa dalla condizione di minimo, che chiamiamo comunque
equazione di Eulero-Lagrange del problema di minimo considerato, generalizzando nella terminologia
le situazioni classiche del Calcolo delle variazioni.
Analisi Funzionale
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