G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
12. Il sottodifferenziale
Anche in questo paragrafo supponiamo che tutti gli spazi normati che intervengono siano reali.
Se f : R → R è una funzione convessa differenziabile, un punto x ∈ R è di minimo per f se
e solo se f ′ (x) = 0 . Inoltre, f ′ è una funzione monotona non decrescente e continua, per cui,
per ogni ε > 0 , la funzione x ↦→ εx + f ′ (x) è invertibile e la sua inversa è non decrescente e
differenziabile e ha derivata ≤ 1/ε . Vogliamo generalizzare questi fatti al caso di una generica
funzione convessa su uno spazio normato. Vedremo che è essenziale l’ipotesi di s.c.i. L’estensione
parte da una disuguaglianza.
Riprendiamo il caso di una funzione f : R → R convessa differenziabile: per ogni x ∈ R
fissato, vale la disuguaglianza
f(x) + f ′ (x)(y − x) ≤ f(y) per ogni y ∈ R . (12.1)
Se ora lasciamo cadere l’ipotesi di differenziabilità, abbiamo comunque, in ogni punto x , l’esistenza
delle derivate unilatere f ′ ±(x) finite e continua a valere la disuguaglianza ottenuta dalla (12.1)
sostituendo f ′ (x) con una delle due derivate f ′ ±(x) o, più in generale, con un numero reale fra
queste compreso. Anzi, i numeri reali ξ tali che la disuguaglianza f(x) + ξ(y − x) ≤ f(y) valga
per ogni y ∈ R sono tutti e soli quelli dell’intervallo [f ′ −(x), f ′ +(x)] .
Consideriamo ora il caso di una funzione f : R n → R convessa differenziabile. L’analoga
della (12.1) è f(x) + ∇f(x) · (y − x) ≤ f(y) e l’analoga della sua generalizzazione al caso non
differenziabile diventa
f(x) + ξ · (y − x) ≤ f(y) per ogni y ∈ R n (12.2)
ove ora ξ è un elemento di R n anziché un numero reale. Se ora vogliamo generalizzare possiamo
sostituire l’ambiente R n con uno spazio prehilbertiano V e rimpiazzare il prodotto scalare euclideo
con il prodotto scalare di V nella (12.2). Ma si può fare di più: quando non c’è il prodotto scalare,
c’è comunque la dualità, che tuttavia comporta che i due argomenti non siano vettori di V ma
elementi di V ∗ e V rispettivamente.
12.1. Definizione. Siano V uno spazio normato e f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa
propria. Se x ∈ V , chiamiamo sottodifferenziale di f in x l’insieme ∂f(x) costituito dai punti
ξ ∈ V ∗ tali che
f(x) + 〈ξ, y − x〉 ≤ f(y) per ogni y ∈ V . (12.3)
Chiamiamo poi sottodifferenziale di f l’applicazione ∂f : V → 2V ∗
che a ogni x ∈ V associa il
sottodifferenziale ∂f(x) di f in x e dominio di ∂f l’insieme D(∂f) costituito dagli x ∈ V tali
che ∂f(x) non è vuoto.
Notiamo che comunemente si usa identificare ∂f con il suo grafico, cioè con l’insieme delle
coppie (x, ξ) ∈ V × V ∗ tali che valga la (12.3).
12.2. Esempio. Nel caso di una funzione convessa f : R → R , abbiamo
∂f(x) = [f ′ −(x), f ′ +(x)] per ogni x ∈ R
se identifichiamo R ∗ a R in modo canonico. In particolare D(∂f) = R .
12.3. Proposizione. Nelle condizioni della Definizione 12.1, sia x ∈ D(∂f) . Allora x appartiene
anche a D(f) e f è s.c.i. in x .
Dimostrazione. Preso ξ ∈ ∂f(x) e scritta la (12.3) con un y ∈ D(f) (che esiste dato che f è propria),
deduciamo f(x) < +∞ , cioè x ∈ D(f) . Supponiamo ora xn → x . Scelto ξ ∈ ∂f(x) e preso y = xn
nella (12.3), otteniamo f(x) + 〈ξ, xn − x〉 ≤ f(xn) per ogni n , da cui
f(x) = lim
n→∞
per cui f è sequenzialmente s.c.i. in x .
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� f(x) + 〈ξ, xn − x〉 � = lim inf
n→∞
� f(x) + 〈ξ, xn − x〉 � ≤ lim inf
n→∞ f(xn)
Gianni Gilardi