G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
dato che 1/(p − 1) = q − 1 , vale a dire u = Fq(g) (e ciò non è casuale per l’Osservazione 4.5).
Concludiamo che l’estremo inferiore di f è nullo e che u = |g| q−1 sign g è punto di minimo,
necessariamente unico. Sia ora p = 1 . Allora, grazie alla (3.4), f(u) = 0 se e solo se
|g| ≤ 1, sign g = sign u e |g| = 1 ove u �= 0 .
Siano ora Ω0 , Ω+ e Ω− gli insiemi (eventualmente di misura nulla) in cui u è nulla, positiva e
negativa rispettivamente. Allora la condizione g ∈ F1(u) equivale a
−1 ≤ g ≤ 1 in Ω0 , g = 1 in Ω+ e g = −1 in Ω− (11.9)
e l’esistenza e l’unicità di u dipendono da g . Ad esempio, se g = 1 in un insieme ω di misura
positiva, qualunque sia ω ′ ⊆ ω di misura positiva, la funzione u che vale 1/µ(ω ′ ) in ω ′ e 0 altrove
(per cui Ω+ = ω ′ , Ω0 = Ω \ ω ′ e Ω− vuoto) realizza le (11.9). Dunque l’estremo inferiore di f
è nullo e abbiamo l’esistenza di punti di minimo, ma, se lo spazio di misura garantisce l’esistenza
di più insiemi ω ′ (essenzialmente diversi) nelle condizioni dette, non abbiamo l’unicità del punto
di minimo. Invece, se −1 < g < 1 q.o. in Ω , gli insiemi Ω± di cui sopra devono avere misura
nulla e u deve essere la funzione nulla. Ma con u = 0 abbiamo 0 = f(u) = f(0) = 1/2 , assurdo.
Dunque, in questo caso, nessuna funzione u verifica f(u) = 0 . Eppure l’estremo inferiore di f
è comunque nullo, come ora mostriamo. Siccome �g�∞ = 1 , possiamo supporre sup g = 1 , per
fissare le idee (il caso inf g = −1 è analogo). Per definizione di estremo superiore (essenziale), per
ogni n ≥ 1 , l’insieme ωn = {x ∈ Ω : g(x) > 1 − 1/n} non può avere misura nulla e possiamo
definire un : Ω → R mediante un = 1/µ(ωn) in ωn e 0 altrove. Allora
f(un) = 1
2 �un� 2 �
1 − g
ωn
1 1 1
dµ + ≤
µ(ωn) 2 2 −
� �
ωn
1 − 1
n
�
1 1 1
dµ + =
µ(ωn) 2 n
per cui {f(un)} è infinitesima e inf f = 0 . Concludiamo che f non ha minimo.
11.15. Osservazione. L’ultima parte dell’Esempio 11.14 fornisce una condizione sufficiente sullo
spazio di misura (Ω, M, µ) perché L 1 (Ω) non sia riflessivo: esista g ∈ L ∞ (Ω) tale che �g�∞ = 1
e |g| < 1 q.o. in Ω . In tali condizioni, infatti, il funzionale (11.6) con p = 1 non ha minimo, il che
è incompatibile con la riflessività di L 1 (Ω) a causa del Teorema 11.10. Ma, grazie al Teorema I.5.36
e all’Osservazione I.5.37, la condizione detta è soddisfatta esattamente nel caso iii) del teorema
citato. D’altra parte, come vedremo nel capitolo appositamente dedicato alla riflessività, ogni spazio
di dimensione finita è riflessivo e uno spazio di Banach è riflessivo se e solo se è riflessivo ogni spazio
isomorfo al suo duale. Usando tali anticipazioni concludiamo che
gli spazi L 1 (Ω) e L ∞ (Ω) sono riflessivi se e solo se essi hanno dimensione finita (11.10)
cioè se e solo se µ(Ω) = 0 oppure Ω è unione di un numero finito di atomi.
11.16. Osservazione. La prima parte di quanto detto nell’Esempio 11.14 (diciamo fino alla
caratterizzazione (11.8) tramite l’applicazione di dualità) si estende al caso di uno spazio normato
qualunque pur di sostituire l’integrale che compare nella (11.6) con 〈g, v〉 , ove g ∈ V ∗ è tale che
�g�∗ = 1 (e di reinterpretare le norme in modo ovvio). C’è dunque, anche nel caso generale, un
legame fra l’applicazione di dualità di V e la minimizzazione del funzionale considerato.
Il Teorema 11.10 consente di estendere al caso degli spazi riflessivi la possibilità di proiettare
su un convesso chiuso non vuoto, come mostra il seguente
11.17. Corollario. Siano V uno spazio di Banach riflessivo e C un convesso chiuso e non vuoto
di V . Allora, per ogni x0 ∈ V , esiste almeno un punto x ∈ C tale che �x − x0� ≤ �y − x0� per
ogni y ∈ C . Inoltre l’insieme C ′ costituito da tali x è un sottoinsieme convesso e chiuso di C .
Infine C ′ è ridotto a un punto se V è strettamente convesso.
130
Gianni Gilardi