G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
11.11. Osservazione. Si noti che la (11.4) è banalmente vera se D(f) è limitato.
11.12. Esercizio. Dimostrare che il punto di minimo è unico se vale la condizione aggiuntiva
f(tx + (1 − t)y) < tf(x) + (1 − t)f(y) se x, y ∈ D(f) , x �= y e t ∈ (0, 1) (11.5)
detta di stretta convessità.
11.13. Esercizio. Siano C è un convesso chiuso e non vuoto di V e f0 : C → R convessa e
continua (o, più in generale s.c.i.). Si definisca f : V → (−∞, +∞] ponendo f(x) = f0(x) se
x ∈ C e f(x) = +∞ altrimenti. Si dimostri che f è una funzione convessa, propria e s.c.i. Si noti
allora, in particolare, che tale f ha minimo se V è riflessivo e C è limitato.
11.14. Esempio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito, p ∈ [1, +∞) e g ∈ Lq (Ω) ,
ove q = p ′ . Supponiamo �g�q = 1 solo per semplicità. Vogliamo minimizzare il funzionale
f : Lp (Ω) → R definito dalla formula
f(v) = 1
2 �v�2 p −
�
Ω
gv dµ + 1
2
per v ∈ V . (11.6)
Abbiamo aggiunto la costante 1/2 , ovviamente inessenziale dal punto di vista della minimizzazione,
in modo l’estremo inferiore di f sia 0 (come vedremo) anziché −1/2 . Il funzionale è somma di
tre funzioni convesse (la parte quadratica è convessa per l’Esercizio 11.5), dunque convesso. Inoltre
esso è chiaramente continuo, dunque s.c.i. Infine f è anche coercivo, come ora mostriamo. Per
ogni v ∈ V abbiamo
f(v) = 1
2 �v�2 p −
�
Ω
gv dµ + 1
2
≥ 1
2 �v�2p − �g�q�v�p + 1 1
=
2 2 �v�2p − �v�p + 1 1
=
2 2 (�v�p − 1) 2 . (11.7)
Deduciamo sia la coercività, sia il fatto che f(v) ≥ 0 per ogni v . Dunque, se p > 1 , il funzionale
ha minimo per il Teorema 11.10. Mostriamo che il valore minimo è 0 e troviamo il punto di minimo,
che sarà unico. Al contrario, se p = 1 , non abbiamo nessuna garanzia sull’esistenza del minimo,
né sulla sua unicità. Unifichiamo momentaneamente i due casi e cerchiamo condizioni necessarie e
sufficienti su u perché f(u) = 0 . Queste si ottengono scrivendo la (11.7) con v = u e imponendo
che f(u) = 0 : tutte le disuguaglianze devono essere uguaglianze. Dunque f(u) = 0 se e solo se
�
gv dµ = �g�q�v�p e �v�p = 1.
Siccome �g�q = 1 , le condizioni trovate equivalgono a
Ω
g ∈ Fp(u) ove Fp : L p (Ω) → 2 Lq (Ω) è l’applicazione di dualità di L p (Ω) (11.8)
avendo identificato il duale di L p (Ω) con L q (Ω) tramite la mappa di Riesz (si rivedano la Definizione
3.1 e l’Esempio 3.12). Distinguiamo ora di nuovo i casi p > 1 e p = 1 . Se p > 1 , allora
q ∈ (1, +∞) e lo spazio L q (Ω) è strettamente convesso (Definizione 3.3), per cui Fp è a un solo
valore (Proposizione 3.10). Precisamente, grazie alla (3.3), il legame fra u e g è il seguente
g = c|u| p−1 sign u ove c = �u� 2−p
p .
Essendo �u�p = �g�q = 1 , abbiamo c = 1 e il legame scritto diventa
Analisi Funzionale
u = |g| 1/(p−1) sign g cioè u = |g| q−1 sign g
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