G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Dimostrazione. L’epigrafo epi f è convesso in quanto f è convessa e chiuso in quanto f è s.c.i. D’altra
parte, per l’Esercizio IV.4.11, la successione {(xn, f(xn))} converge debolmente a (x, λ) nello spazio
prodotto V × R . Allora possiamo applicare il Corollario 9.14 e concludere che (x, λ) ∈ epi f , vale a
dire che f(x) ≤ λ .
Il lemma successivo, ovvio nel caso V = R , fornisce una proprietà generale di ogni funzione
convessa propria f che sia anche s.c.i. Tale proprietà si esprime dicendo che f ha una minorante
affine continua.
11.8. Lemma. Siano V uno spazio normato e f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa
propria s.c.i. Allora esistono ξ ∈ V ∗ e c ∈ R tali che
f(x) ≥ 〈ξ, x〉 + c per ogni x ∈ V . (11.3)
Dimostrazione. Si fissino x0 ∈ D(f) e y0 < f(x0) . Allora possiamo applicare la Seconda forma geometrica
del Teorema di Hahn-Banach (Teorema 9.10) e separare il convesso chiuso non vuoto epi f e il punto
(x0, y0) che non gli appartiene. Troviamo F ∈ (V × R) ∗ \ {0} tale che
〈F, (x, r)〉 < 〈F, (x0, y0)〉 per ogni (x, r) ∈ epi f
(potremmo dire di meglio, ma qui ci basta questa disuguaglianza). Ora, F si rappresenta nella forma
〈F, (x, r)〉 = 〈ϕ, x〉 + γr per ogni (x, r) ∈ V × R
per opportuni ϕ ∈ V ∗ e γ ∈ R (vedi Teorema III.3.10, formula (III.3.7)). Otteniamo che
〈ϕ, x〉 + γf(x) < 〈ϕ, x0〉 + γy0 per ogni x ∈ D(f) .
Scegliendo in particolare x = x0 deduciamo γf(x0) < γy0 , da cui γ < 0 dato che y0 > f(x0) . Allora,
dividendo per γ , concludiamo che
da cui la (11.3) con ξ = −ϕ/γ e c = α/γ .
〈ϕ/γ, x〉 + f(x) > α/γ ove α = 〈ϕ, x0〉 + γy0
11.9. Corollario. Siano V uno spazio normato e f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa
propria s.c.i. Allora f è inferiormente limitata su ogni limitato di V .
Dimostrazione. Siano B ⊆ V limitato. Sia R > 0 tale che B ⊆ BR(0) . Per il Lemma 11.8, esistono ϕ
e c verificanti la (11.3). Per x ∈ B abbiamo allora f(x) ≥ c − �ϕ�∗�x� ≥ c − R�ϕ�∗ .
11.10. Teorema. Siano V uno spazio di Banach riflessivo e f : V → (−∞, +∞] una funzione
convessa, propria, s.c.i. e coerciva nel senso seguente
lim f(x) = +∞. (11.4)
�x�→+∞
Allora f ha minimo. Inoltre l’insieme dei punti di minimo è convesso e chiuso.
Dimostrazione. Sia λ = infx∈V f(x) . Dimostriamo preliminarmente che λ ∈ R . Si ha λ < +∞ , dato
che f è propria. D’altra parte, per l’ipotesi (11.4) di coercività, troviamo R > 0 tale che f(x) ≥ 0 se
�x� > R e, per il Corollario 11.9, f è limitata inferiormente anche su BR(0) . Dunque λ > −∞ .
Sia ora {xn} una successione minimizzante, cioè tale che {f(xn)} tenda a λ . Essendo λ ∈ R , possiamo
supporre xn ∈ D(f) per ogni n . D’altra parte l’ipotesi di coercività assicura che {xn} è limitata. Per
il Teorema 7.2 di compattezza debole sequenziale, possiamo quindi estrarre una sottosuccessione {xnk }
debolmente convergente a un certo x ∈ V . Allora, siccome {f(xnk )} converge a λ , abbiamo f(x) ≤ λ
grazie al Lemma 11.7, per cui x è un punto di minimo.
Infine, detto C l’insieme dei punti di minimo, si ha che C = {x ∈ V : f(x) ≤ min f} . Dunque C è
convesso in quanto f è convessa (Esercizio 11.4) e chiuso in quanto f è s.c.i. (Teorema 10.10).
128
Gianni Gilardi