G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
11.2. Esercizio. Dimostrare che l’indicatrice IC di C data dalla (10.1) è una funzione convessa
se e solo se C è convesso.
Il risultato successivo afferma che f è convessa se e solo se vale la disuguaglianza
f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) per ogni x, y ∈ V e t ∈ (0, 1) (11.1)
o, in modo equivalente, se e solo se vale la disuguaglianza
f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) per ogni x, y ∈ D(f) e t ∈ (0, 1) . (11.2)
L’equivalenza fra le (11.1) e (11.2) è chiara: fissati infatti x e y , la disuguaglianza di (11.1) è
automaticamente soddisfatta da ogni funzione f se almeno uno dei punti considerati non appartiene
a D(f) , dato che il secondo membro è +∞ in questo caso. Notiamo che la (11.2) si può riscrivere
nella forma
f(y + t(x − y)) ≤ f(y) + t(f(x) − f(y)) per ogni x, y ∈ D(f) e t ∈ (0, 1) .
Al contrario, l’analoga scrittura con x, y ∈ V potrebbe far intervenire +∞ − ∞ ed è quindi da
evitare. Allo stesso modo sono da evitare i due valori t = 0 e t = 1 se si vogliono lasciare x e y
generici in V , per non incappare nella forma 0 · ∞ .
11.3. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale e f : V → (−∞, +∞] . Allora f è convessa
se e solo se vale la (11.1), o, equivalentemente, la (11.2).
Dimostrazione. Sia f convessa e siano x, y ∈ D(f) e t ∈ (0, 1) . Allora i due punti p = (x, f(x)) e
q = (y, f(y)) appartengono a epi f per cui a epi f pure appartiene il punto tp + (1 − t)q . Esplicitato ciò,
si ha la (11.2). Valga ora la (11.2) e siano p = (x, u) e q = (y, v) due punti di epi f e t ∈ (0, 1) . Allora
f(x) ≤ u e f(y) ≤ v da cui
f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) ≤ tu + (1 − t)v.
Quindi tp + (1 − t)q = (tx + (1 − t)y, tu + (1 − t)v) ∈ epi f .
11.4. Esercizio. Con le notazioni della Definizione 11.1, dimostrare che il dominio D(f) è
convesso e che, per ogni α ∈ R , è convesso l’insieme Sα = {x ∈ V : f(x) ≤ α} . Mostrare poi che,
al contrario, la convessità di tutti gli Sα non implica quella di f .
11.5. Esercizio. Si osservi che, se V è uno spazio normato, la composizione g ◦ h di una
funzione h : V → R convessa con una funzione g : R → R non decrescente e convessa è una
funzione convessa e si deduca che per ogni p ≥ 1 è convessa la funzione x ↦→ �x� p , x ∈ V .
11.6. Osservazione. Analogamente è convessa la funzione x ↦→ |x| p se | · | è una seminorma.
Ad esempio, è convessa la funzione f : W 1,p (Ω) → R definita da f(v) = �∇v� p p .
Sappiamo che, se V è uno spazio normato di dimensione infinita, esistono funzionali lineari
L : V → R che non sono continui. Anzi, un tale funzionale è discontinuo in ogni punto. Siccome
ogni funzionale lineare è convesso, vediamo che la nozione di convessità è lontana dall’implicare
quella di continuità. D’altra parte l’aggiunta dell’ipotesi di continuità a quella di convessità è spesso
inutilmente gravosa. Nei problemi di minimo, le buone ipotesi si ottengono abbinando convessità,
s.c.i. e una condizione all’infinito. Più precisamente, abbiamo il teorema che presentiamo dopo due
lemmi di validità generale. Segnaliamo comunque che si può dimostrare che ogni funzione convessa
propria s.c.i. è continua in tutti i punti interni al suo dominio.
11.7. Lemma. Siano V uno spazio normato e f : V → (−∞, +∞] una funzione convessa
s.c.i. Siano inoltre {xn} una successione debolmente convergente a un punto x ∈ V tale che la
successione {f(xn)} converga a un numero reale λ . Allora f(x) ≤ λ .
Analisi Funzionale
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