G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
chiuso epi f , troviamo un suo intorno I disgiunto da epi f . Ma I contiene un prodotto cartesiano del tipo
J × (λ − δ, λ + δ) , ove J ∈ I(x0) e δ > 0 . Supponiamo ora x ∈ J . Allora (x, λ) ∈ I , da cui (x, λ) �∈ epi f ,
cioè f(x) > λ e la (10.7) è stata verificata.
Siccome le condizioni iii) e iv) sono ovviamente equivalenti, per concludere dimostriamo l’equivalenza
fra la i) e la iii) .
Supponiamo che f sia s.c.i. e, fissato α ∈ R , dimostriamo che l’insieme Aα = {x ∈ S : f(x) > α} è
aperto. Sia x0 ∈ Aα . Essendo f(x0) > α possiamo scegliere λ ∈ (α, f(x0)) e applicando la (10.7) troviamo
J ∈ I(x0) tale che f(x) ≥ λ > α per ogni x ∈ J . Dunque J ⊆ Aα .
Supponiamo infine che valga la iii) e, fissato x0 ∈ S , dimostriamo che f è s.c.i. in x0 provando
la (10.7). Sia λ < f(x0) ad arbitrio. Siccome l’insieme Aλ dei punti x ∈ S tali che f(x) > λ è aperto e
x0 ∈ Aλ , troviamo J ∈ I(x0) incluso in Aλ . Allora f(x) > λ per ogni x ∈ J .
10.11. Esercizio. Per c ∈ (−∞, +∞] , sia fc : R → (−∞, +∞] definita dalle formule f(x) =
sign x se x �= 0 e f(0) = c . Determinare per quali valori di c la funzione fc è s.c.i. applicando
sia la definizione, sia la Proposizione 10.8, sia le condizioni del Teorema 10.10.
10.12. Osservazione. La funzione indicatrice (10.1) del sottoinsieme C è s.c.i. se e solo se C
è chiuso e la somma di due funzioni s.c.i. è s.c.i. In particolare la somma di una funzione s.c.i. e
della funzione indicatrice di un chiuso è s.c.i. Infine, se {fα : α ∈ A} è una famiglia non vuota di
funzioni tutte s.c.i., è s.c.i. anche la funzione f : S → (−∞, +∞] definita dalla formula
che viene detta inviluppo superiore della famiglia considerata.
f(x) = sup fα(x) per x ∈ S (10.8)
α∈A
10.13. Esercizio. Dimostrare le affermazioni dell’osservazione precedente.
Le funzioni continue trasformano compatti in compatti. In particolare ogni funzione reale
continua su un compatto ha massimo e minimo (Teorema di Weierstrass). Se però si è interessati
all’esistenza del solo minimo, l’ipotesi di continuità può essere indebolita, come mostra il risultato
dato di seguito. Le due ipotesi prese in considerazione, equivalenti nel caso degli spazi metrici, sono
indipendenti nel caso generale.
10.14. Teorema. Siano S uno spazio topologico e f : S → (−∞, +∞] una funzione propria.
Allora f ha minimo in ciascuno dei due casi seguenti: i) S è compatto e f è s.c.i.; ii) S è
sequenzialmente compatto e f è sequenzialmente s.c.i.
Dimostrazione. Sia λ = infx∈S f(x) . Si ha λ < +∞ perché f è propria, ma per ora non possiamo
escludere che λ = −∞ . Ciò nonostante, un punto x0 ∈ S è di minimo se e solo se f(x0) ≤ λ . Dimostriamo
appunto che, in ciascuna delle due ipotesi dell’enunciato, esiste x0 ∈ S tale che f(x0) ≤ λ . Valga i) . Sia
{λn} una successione decrescente di numeri reali λn > λ che tende a λ . Posto Cn = {x ∈ S : f(x) ≤ λn} ,
ciascuno dei Cn è non vuoto perché λn > λ e chiuso per il Teorema 10.10. Inoltre, se n1, . . . , nk sono interi
positivi e m è il loro massimo, si ha � k
i=1 Cni = Cm , che non è vuoto come ogni Cn . Siccome S è compatto,
l’intersezione di tutti i Cn non è vuota (Proposizione A.1.17). Sia x0 un punto di tale intersezione. Allora
f(x0) ≤ λn per ogni n e dunque f(x0) ≤ λ . Valga ora ii) . Sia {xn} una successione minimizzante, cioè
una successione di elementi di S tale che limn→∞ f(xn) = λ . Siccome per ipotesi S è sequenzialmente
compatto, possiamo estrarre da {xn} una sottosuccessione {xnk } convergente a un certo punto x0 ∈ S . Per
la semicontinuità inferiore sequenziale abbiamo allora f(x0) ≤ lim infk→∞ f(xnk ) = limn→∞ f(xn) = λ .
11. Funzioni convesse
La definizione ricalca quella nota per funzioni reali definite sullo spazio euclideo. In tutto il paragrafo
supponiamo che tutti gli spazi normati che intervengono siano reali.
11.1. Definizione. Siano V uno spazio vettoriale e f : V → (−∞, +∞] . Diciamo che f è
convessa quando epi f è un sottoinsieme convesso di V × R .
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Gianni Gilardi