G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
3.22. Esempio. Nell’Esempio 3.18 abbiamo visto che le norme � · �∞ e � · �2 su C0 [0, 1] non
sono equivalenti: precisamente, il comportamento della successione là considerata mostra che non
può esistere alcuna costante M tale che �v�∞ ≤ M�v�2 per ogni v ∈ C0 [0, 1] (mentre risulta
�v�2 ≤ �v�∞ come si verifica subito). Sono invece equivalenti, per ogni n , le restrizioni di tali
norme allo spazio Pn dei polinomi �n k=0 aktk a coefficienti in K di grado ≤ n in quanto dim Pn
è finita (vale n + 1 ). Ciò significa che deve valere una disuguaglianza del tipo �v�∞ ≤ Mn�v�2
per ogni v ∈ Pn . La costante Mn non può essere scelta indipendente da n , proprio a causa
dell’esempio citato, e avviene che, qualunque sia la successione {Mn} di costanti ammissibili, si
ha limn→∞ Mn = +∞ . Una terza norma in Pn equivalente alle precedenti è data dalla formula
�v� = �n k=0 |v(k) (0)| : essa infatti è una norma in Pn , come può verificare il lettore.
4. Spazi vettoriali topologici
La classe degli spazi normati fa parte di una categoria più ampia di interesse notevolissimo in
Analisi Funzionale, quella degli spazi vettoriali topologici, che conviene introdurre subito. Vedremo
appunto che ogni spazio normato è vettoriale topologico, ma in seguito avremo modo di trovare spazi
vettoriali topologici non normabili e nemmeno metrizzabili. Anche se altri autori si comportano
più spesso diversamente, noi richiediamo che la topologia sia separata.
4.1. Definizione. Uno spazio vettoriale topologico è una coppia (V, T ) ove V è uno spazio
vettoriale e T è una topologia di Hausdorff su V che rende continue le applicazioni
V × V ∋ (x, y) ↦→ x + y ∈ V e K × V ∋ (λ, x) ↦→ λx ∈ V
ove gli spazi prodotto sono muniti delle corrispondenti topologie prodotto.
Nel linguaggio corrente, poi, si parla di spazi vettoriali topologici senza menzionare esplicitamente
la topologia nelle notazioni. Conviene inoltre, per semplificare il linguaggio, dare anche la
definizione seguente:
4.2. Definizione. Siano V e W due spazi vettoriali topologici. Diciamo che V è immerso con
continuità in W quando V è un sottospazio vettoriale di W e l’immersione di V in W , cioè
l’applicazione i : V → W definita da x ↦→ x , è continua.
4.3. Osservazione. Chiaramente, se V è uno spazio vettoriale topologico, per ogni y ∈ V e
per ogni λ ∈ K non nullo, la traslazione Ty : V → V e l’omotetia Oλ : V → V date dalle formule
Ty(x) = x + y e Oλ(x) = λx sono continue. Siccome esse sono biiettive e le loro inverse sono
applicazioni dello stesso tipo, esse sono anche omeomorfismi. Con le notazioni del Paragrafo 1, le
affermazioni precedenti si riscrivono nella forma seguente: se V è uno spazio vettoriale topologico,
gli intorni del generico punto x0 sono tutti e soli gli insiemi del tipo x0 + I ove I è un intorno
dell’origine e, se I è un intorno dell’origine, allora anche λI lo è per ogni λ �= 0 . In particolare, se
V è uno spazio vettoriale e T e T ′ sono due topologie che rendono V spazio vettoriale topologico,
allora esse coincidono se e solo se gli intorni dell’origine nelle due topologie sono gli stessi.
Notiamo inoltre che il fatto che gli intorni del generico punto si ottengano semplicemente
traslando gli intorni dell’origine consente di dare una nozione di “vicinanza” di due punti senza che
uno dei due sia stato fissato, un po’ come, per quanto possibile, avviene nel caso degli spazi metrici.
Se, nel caso degli spazi metrici, diciamo che due punti sono “vicini” quando la loro distanza è
“piccola”, nel caso degli spazi vettoriali topologici possiamo dire che due punti x e y sono “vicini”
quando x − y appartiene a un intorno “piccolo” dell’origine. Analogamente gli intorni Br(x) e
Br(y) con lo stesso r degli spazi metrici sono rimpiazzati abbastanza bene da x + I e y + I ,
dove I è uno stesso intorno dell’origine. Invitiamo il lettore a sfruttare tale osservazione negli
esercizi successivi, alcuni dei quali saranno riutilizzati anche in seguito. Per chiarezza richiamiamo
la definizione di insieme convesso e qualche proprietà.
4.4. Definizione. Siano V uno spazio vettoriale e C ⊆ V . Diciamo che C è convesso quando,
per ogni x, y ∈ C e t ∈ (0, 1) si ha tx + (1 − t)y ∈ C . Se poi A è un sottoinsieme non vuoto
Analisi Funzionale
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