G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
10.6. Osservazione. Notiamo che nella (10.6) si prendono in considerazione successioni di elementi
di S e non solo di S \ {x0} , dato che il fatto che qualche xn coincida con x0 non incide
sulla disuguaglianza. Inoltre, da quanto abbiamo detto sul minimo limite, si vede che la s.c.i. in x0
implica la s.c.i. sequenziale e che, se x0 ha una base numerabile di intorni, vale anche il viceversa,
cioè la s.c.i. in x0 equivale alla s.c.i. sequenziale in x0 .
10.7. Osservazione. Se V è uno spazio normato di dimensione infinita, esistono funzionali
lineari su V che non sono continui. Vediamo che succede rispetto alla semicontinuità. Supponiamo
f ∈ Hom(V ; R) s.c.i. in almeno un punto x0 e sia {xn} una successione convergente a x0 . Allora
Ma anche {2x0 − xn} converge a x0 , per cui
f(x0) ≤ lim inf
n→∞ f(xn).
f(x0) ≤ lim inf
n→∞ f(2x0 − xn) = 2f(x0) − lim sup f(xn) da cui f(x0) ≥ lim sup f(xn).
n→∞
n→∞
Dunque {f(xn)} converge a f(x0) e f è continuo in x0 . Segue che f è continuo ovunque
(Proposizione I.4.9), cioè f ∈ V ∗ .
10.8. Proposizione. Siano S uno spazio topologico, f : S → (−∞, +∞] e x0 ∈ S . Allora f
è s.c.i. in x0 se e solo se
per ogni λ < f(x0), esiste un intorno J di x0 tale che
f(x) ≥ λ per ogni x ∈ J. (10.7)
Dimostrazione. Se x0 è isolato, da un lato f è s.c.i. in x0 per definizione; d’altro canto la (10.7) vale
con J = {x0} . Supponiamo dunque x0 di accumulazione per S .
Supponiamo f s.c.i. in x0 e dimostriamo che vale la (10.7). Fissiamo λ < f(x0) e poniamo ℓ =
lim infx→x0 f(x) . Siccome f(x0) ≤ ℓ , risulta λ < ℓ . Allora, per definizione di estremo superiore, esiste
J ∈ I(x0) tale che inf x∈J\{x0} f(x) ≥ λ . Abbiamo pertanto
f(x) ≥ inf f(y) ≥ λ
y∈J\{x0}
per ogni x ∈ J \ {x0} e quindi anche per ogni x ∈ J .
Supponiamo ora che valga la (10.7) e dimostriamo che f è s.c.i. in x0 . Fissato λ < f(x0) ad arbitrio,
applichiamo l’ipotesi: troviamo J ∈ I(x0) come specificato nella (10.7). Abbiamo allora
Dall’arbitrarietà di λ < f(x0) segue la (10.5).
lim inf f(x) = sup inf f(x) ≥ inf f(x) ≥ λ.
x→x0
I∈I(x0) x∈I\{x0} x∈J\{x0}
10.9. Esercizio. Meditare sul caso in cui f(x0) = +∞ .
10.10. Teorema. Siano S uno spazio topologico e f : S → (−∞, +∞] . Allora sono equivalenti
le condizioni: i) f è s.c.i.; ii) epi f è chiuso in S×R ; iii) per ogni α ∈ R è aperto in S l’insieme
{x ∈ S : f(x) > α} ; iv) per ogni α ∈ R è chiuso in S l’insieme {x ∈ S : f(x) ≤ α} .
Dimostrazione. Supponiamo f s.c.i. e dimostriamo che epi f è chiuso. Fissiamo p0 = (x0, y0) ∈ S × R
non appartenente a epi f e dimostriamo che p0 ha un intorno I disgiunto da epi f . Si ha y0 < f(x0)
e possiamo scegliere λ ∈ (y0, f(x0)) , così che (−∞, λ) è un intorno di y0 . Applichiamo la (10.7): troviamo
J ∈ I(x0) tale che f(x) ≥ λ per ogni x ∈ J . Prendiamo allora I = J × (−∞, λ) : se (x, y) ∈ I , risulta
y < λ ≤ f(x) , per cui (x, y) �∈ epi f . Dunque I è disgiunto da epi f .
Viceversa, supponiamo epi f chiuso e dimostriamo che f è s.c.i. Fissiamo dunque x0 ∈ S e cerchiamo
di verificare la (10.7). Fissiamo allora anche λ < f(x0) . Osservato che il punto (x0, λ) non appartiene al
Analisi Funzionale
125