G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Se poi B(x0) = {Bn : n = 1, 2, . . .} è una base numerabile di intorni di x0 che decresce, cioè
verifica Bn+1 ⊆ Bn per ogni n , la successione degli estremi inferiori che si origina nella formula
precedente cresce, per cui si ha
lim inf
x→x0
f(x) = lim inf
n→∞ x∈Bn\{x0} f(x).
Sia ora {xn} una successione di elementi di S \ {x0} convergente a x0 . Allora è facile vedere che
lim inf
n→∞ f(xn) ≥ lim inf f(x).
x→x0
Se poi x0 ha una base numerabile di intorni, esiste una successione {xn} nelle condizioni dette
tale che la successione {f(xn)} tenda al minimo limite che compare al secondo membro, per cui
vale la caratterizzazione
lim inf
x→x0
f(x) = min{ℓ ∈ [−∞, +∞] : esista xn → x0 tale che f(xn) → ℓ} (10.4)
ove resta inteso che le successioni {xn} considerate sono a valori in S \ {x0} .
10.3. Esempio. Mostriamo che
lim inf
x→0 (1 + x2 ) sin 1
= −1.
x
Se si definisce xn per mezzo dell’uguaglianza 1/xn = −π/2 + 2nπ , che implica sin(1/xn) = −1 , si
ha che l’estremo inferiore di (1 + x2 ) sin 1
x in Bn = [−xn, xn] vale −(1 + x2 n) . Siccome la famiglia
B = {Bn : n ≥ 1} è una base numerabile di intorni di 0 che decresce, il minimo limite vale il limite
di −(1 + x2 n) , cioè −1 . Una successione che realizza il minimo nella formula (10.4) è proprio la
successione {xn} appena considerata.
10.4. Esercizio. Dimostrare che
lim inf(f(x)
+ g(x)) ≥ lim inf f(x) + lim inf g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
e costruire un esempio con la disuguaglianza stretta. Dimostrare poi che, al contrario, si ha
l’uguaglianza se almeno uno dei due minimi limiti è un limite.
Ora diamo la definizione di semicontinuità inferiore. Quella di semicontinuità superiore si
ottiene sostituendo il minimo limite con il massimo limite e cambiando il verso della disuguaglianza.
In modo equivalente, la semicontinuità superiore di una funzione significa la semicontinuità inferiore
della sua opposta. Per l’osservazione precedente, si ha che una funzione è continua se e solo se
essa semicontinua sia inferiormente sia superiormente. Tuttavia nel seguito solo la semicontinuità
inferiore avrà un ruolo importante.
10.5. Definizione. Siano S uno spazio topologico, f : S → (−∞, +∞] e x0 ∈ S . Diciamo
che f è semicontinua inferiormente (s.c.i.) in x0 quando è verificata una delle due condizioni:
i) x0 è isolato; ii) x0 è di accumulazione per S e vale la disuguaglianza
f(x0) ≤ lim inf
x→x0
f(x). (10.5)
Diciamo poi che f è sequenzialmente s.c.i. in x0 , oppure s.c.i. per successioni in x0 , quando, per
ogni successione {xn} di elementi di S , vale l’implicazione
da xn → x0 segue f(x0) ≤ lim inf
n→∞ f(xn). (10.6)
Diciamo infine che f è s.c.i. (sequenzialmente s.c.i.) quando essa è s.c.i. (rispettivamente sequenzialmente
s.c.i.) in ogni x0 ∈ S .
124
Gianni Gilardi