G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
Dimostrazione. Siano {xn} e x come specificato nell’enunciato. Grazie al Corollario 9.12, basta dimostrare
quanto segue: se f ∈ V ∗ e α ∈ R verificano 〈f, xn〉 ≤ α per ogni n , allora 〈f, x〉 ≤ α . Ma ciò è
vero in quanto limn→∞〈f, xn〉 = 〈f, x〉 .
10. La semicontinuità inferiore
Il concetto di minimo limite di una successione reale {cn} è ben noto:
lim inf
n→∞ cn = sup inf ck
n≥1 k≥n
= min {ℓ ∈ [−∞, +∞] : esista {cnk } ⊆ {cn} tale che cnk → ℓ}
ove il simbolo {cnk } ⊆ {cn} significa che {cnk } è una sottosuccessione di {cn} . Più in generale,
la stessa definizione si estende al caso in cui {cn} possa assumere anche i valori ±∞ . In tal caso
continua a valere la caratterizzazione del minimo limite come minimo data dalla formula precedente.
L’accettazione di valori infiniti, e specificatamente in (−∞, +∞] , è particolarmente opportuna
quando si è interessati a cercare il minimo di una funzione definita, in generale, in uno spazio
topologico S (nel qual caso denotiamo con I(x) la famiglia degli intorni del generico punto x ∈ S ).
Ad esempio, se vogliamo trovare un punto di minimo di una funzione reale u definita solo in
un sottoinsieme C di S , basta considerare il prolungamento �u : S → (−∞, +∞] di u definito
da �u(x) = u(x) se x ∈ C e �u(x) = +∞ se x �∈ C e cercare i punti di minimo di �u . Se inoltre
la funzione f : S → R è definita su tutto S , ma si è interessati a trovare i punti di minimo della
restrizione f|C di f a un sottoinsieme C di S , il prolungamento �u di u = f|C costruito sopra
coincide con la funzione f + IC ove IC : S → (−∞, +∞] è la cosiddetta funzione indicatrice di C
definita da
IC(x) = 0 se x ∈ C e IC(x) = +∞ altrimenti. (10.1)
Premettiamo la definizione di qualche termine.
10.1. Definizione. Sia f : S → (−∞, +∞] ove S è un insieme non vuoto. Allora il suo
dominio (o dominio effettivo) e il suo epigrafo sono definiti da
D(f) = {x ∈ S : f(x) < +∞} e epi f = {(x, y) ∈ S × R : y ≥ f(x)} (10.2)
e f è detta propria quando D(f) non è vuoto.
Osserviamo esplicitamente che nella definizione di epigrafo la seconda coordinata varia in R
e non in (−∞, +∞] , anche se la funzione assume valori in (−∞, +∞] . In particolare epi f è
non vuoto se e solo se f è propria. Quasi sempre faremo l’ipotesi che la funzione in questione sia
propria, dato che le funzioni non proprie sono prive di interesse. Tuttavia alcune affermazioni sono
banalmente vere nei punti in cui f è infinita.
Diamo la definizione di minimo limite. Scambiando gli estremi inferiori e superiori si ottiene
quella di massimo limite, il che corrisponde a dire che il massimo limite è l’opposto del minimo
limite della funzione opposta. Si dimostra che il minimo limite non supera mai il massimo limite e
che questi coincidono se e solo se la funzione ha limite, il limite essendo il valore comune di massimo
e minimo limite.
10.2. Definizione. Siano S uno spazio topologico, x0 ∈ S un punto di accumulazione per S
e f una funzione definita in S oppure in S \ {x0} a valori in (−∞, +∞] . Poniamo
lim inf
x→x0
f(x) = sup inf f(x). (10.3)
I∈I(x0) x∈I\{x0}
Si verifica senza difficoltà che, se B(x0) è una base di intorni di x0 , vale l’uguaglianza
Analisi Funzionale
lim inf
x→x0
f(x) = sup inf f(x).
I∈B(x0) x∈I\{x0}
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