G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Dunque z ∈ A . Siccome anche B è convesso per lo stesso motivo, possiamo applicare il teorema precedente
e dedurre l’esistenza di f ∈ V ∗ tale che 〈f, x〉 < 〈f, y〉 per ogni x ∈ A e y ∈ B . Allora deve essere f �= 0
e anche 〈f, x〉 ≤ γ ≤ 〈f, y〉 per ogni x ∈ A e y ∈ B , ove, ad esempio, γ è l’estremo superiore di f|A . Ma
per ogni x ∈ C , y ∈ K e z ∈ B1(0) si ha x + εz ∈ A e y − εz ∈ B , da cui
〈f, x〉 + ε sup 〈f, z〉 = sup 〈f, x + εz〉 ≤ γ ≤ inf 〈f, y − εz〉 = 〈f, y〉 − ε sup 〈f, z〉
�z�