G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
8.8. Esercizio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito, ω ∈ M , p ∈ [1, +∞) e q = p ′ .
Si definisca L ∈ L(L p (Ω); L p (ω)) mediante la formula Lv = v|ω . Effettuate le identificazioni
L p (Ω) ∗ = L q (Ω) e L p (ω) ∗ = L q (ω) mediante le mappe di Riesz, si determini L ∗ .
Rimandando a un paragrafo successivo lo studio della trasposizione in un ambito anche più
generale, qui ci limitiamo a dimostrare alcuni risultati molto semplici, il primo dei quali discende
direttamente dal Corollario 2.10 del Teorema di Hahn-Banach.
8.9. Teorema. Se L ∈ L(V ; W ) allora L ∗ ∈ L(W ∗ ; V ∗ ) e �L ∗ � = �L� .
Dimostrazione. La linearità di L ∗ è immediata. Vediamo la continuità. Se w ∗ ∈ W ∗ e v ∈ V si ha
|〈L ∗ w ∗ , v〉| = |〈w ∗ , Lv〉| ≤ �w ∗ �W ∗�Lv�W ≤ �w ∗ �W ∗�L� �v�V
da cui �L ∗ w ∗ �V ∗ ≤ �L� �w∗ �W ∗ per ogni w∗ ∈ W ∗ . Deduciamo che L ∗ è limitato e che �L ∗ � ≤ �L� .
Dimostriamo la disuguaglianza opposta. Sia v ∈ V . Se Lv �= 0 , applicando il Corollario 2.10 allo spazio
W e all’elemento Lv , troviamo f ∈ W ∗ tale che �f�W ∗ = �Lv�W e 〈f, Lv〉 = �Lv�2 f �= 0 dato che �f�W ∗ �= 0 , deduciamo che
W . Osservato che
�Lv�W = �Lv�2 W
�Lv�W
= 〈f, Lv〉
�f�W ∗
= 〈L∗ f, v〉
�f�W ∗
≤ �L∗ f�V ∗
�f�W ∗
�v�V ≤ �L ∗ � �v�V .
Siccome è banalmente vero che �Lv�W ≤ �L ∗ � �v�V se Lv = 0 , concludiamo che �L� ≤ �L ∗ � .
8.10. Teorema. Siano V , W e Z tre spazi normati, L1 ∈ L(V ; W ) e L2 ∈ L(W ; Z) . Allora
vale la formula
(L2L1) ∗ = L ∗ 1L ∗ 2 . (8.3)
In particolare, se L è un isomorfismo di V su W , anche L ∗ è un isomorfismo di W ∗ su V ∗ .
Dimostrazione. Siano z ∗ ∈ Z ∗ e v ∈ V . Allora si ha
〈(L2L1) ∗ z ∗ , v〉 = 〈z ∗ , L2L1v〉 = 〈L ∗ 2z ∗ , L1v〉 = 〈L ∗ 1L ∗ 2z ∗ , v〉.
Per l’arbitrarietà di v segue (L2L1) ∗ z ∗ = L ∗ 1L ∗ 2z ∗ per ogni z ∗ ∈ Z ∗ , da cui la (8.3). Per dimostrare la
seconda affermazione, applichiamo la (8.3) agli operatori L e L −1 nei due modi possibili. Se IV e IW
sono le applicazioni identiche di V e di W , abbiamo
I ∗ V = (L −1 L) ∗ = L ∗ (L −1 ) ∗
e I ∗ W = (LL −1 ) ∗ = (L −1 ) ∗ L ∗ .
Siccome I ∗ W e I∗ V sono le applicazioni identiche di W ∗ e di V ∗ , come si vede subito dalla definizione,
segue che L ∗ è biiettiva e che la sua inversa è (L −1 ) ∗ , che è lineare e continua per il teorema precedente.
9. Forme geometriche del Teorema di Hahn-Banach
La nozione di insieme convesso è stata richiamata nella Definizione I.4.4. Invitiamo il lettore a
rivedere anche le cose collegate, quali l’Osservazione I.4.5 e l’Esercizio I.4.6.
Anche se nel seguito supporremo gli spazi in questione reali, per ora il campo K è R o C
indifferentemente. Ci preme infatti introdurre la definizione del funzionale di Minkowski, che è uno
strumento importante in Analisi Funzionale, ed evidenziarne un certo numero di proprietà, anche
se solo alcune di esse saranno utilizzate in questo capitolo.
9.1. Definizione. Siano V uno spazio vettoriale e C un suo sottoinsieme non vuoto. Diciamo
che C è assorbente quando �
λ>0 λC = V , cioè quando per ogni x ∈ V esiste λ > 0 tale che
x/λ ∈ C . Se C è assorbente, il funzionale di Minkowski di C è l’applicazione minkC : V → R
definita da
minkC(x) = inf{λ > 0 : x/λ ∈ C} per x ∈ V . (9.1)
9.2. Osservazione. Notiamo che, se C è assorbente, anche per x = 0 deve esistere λ > 0 tale
che x/λ ∈ C . Concludiamo che
ogni insieme assorbente contiene l’origine. (9.2)
Segue allora che 0/λ = 0 ∈ C per ogni λ > 0 , da cui minkC(0) = 0 .
Analisi Funzionale
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