G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
8.2. Osservazione. Naturalmente, se V e W sono spazi di Hilbert reali, si può pensare o
meno di identificarli ai rispettivi duali tramite l’isomorfismo di Riesz. Se si decide di effettuare le
identificazioni, la formula (8.1) diventa
(L ∗ w ∗ , v) = (w ∗ , Lv) per ogni v ∈ V e w ∗ ∈ W (8.2)
ove, ovviamente, i due prodotti scalari sono quello di V e quello di W rispettivamente.
8.3. Osservazione. La relazione con l’operazione di traposizione della matrice si estende al caso
di generici spazi, reali o complessi, di dimensione finita, pur di coordinare le scelte delle basi. Siano
n e m le dimensioni di V e di W rispettivamente. Supposto senz’altro n, m > 0 , scegliamo due
basi (e1, . . . , en) e (ε1, . . . , εm) dei due spazi. Per i duali V ∗ e W ∗ scegliamo le rispettive basi
duali (Esempio III.3.1), che denotiamo con (e 1 , . . . , e n ) e (ε 1 , . . . , ε m ) . Allora, grazie alla (III.3.2),
le dualità V ∗〈 · , · 〉V e W ∗〈 · , · 〉W si rappresentano in forma diagonale, cioè
〈v ∗ , v〉 =
〈w ∗ , w〉 =
n�
j=1
m�
i=1
x ′ j xj se v =
y ′ i yi se w =
n�
xj ej e v ∗ =
j=1
m�
yi εi e w ∗ =
i=1
n�
j=1
m�
i=1
x ′ j e j
y ′ i ε i .
Scegliendo le notazioni in modo che i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , m in ogni caso, siano A = (aij)
e A∗ = (a∗ ji ) le matrici che rappresentano L e L∗ nelle basi considerate, cioè definite dalle
condizioni: aij è la i -esima coordinata di Lej e a∗ ji è la j -esima coordinata di L∗εi . Allora, per
ogni w∗ ∈ W ∗ e v ∈ V , dette y ′ i e xj le rispettive coordinate e dette x ′ j e yi le coordinate di
L∗w∗ e di Lv , si ha yi = �n j=1 aij xj e x ′ j = �m i=1 a∗ji y′ i , da cui
〈w ∗ , Lv〉 =
m�
i=1
y ′ i yi = �
aij y ′ i xj e 〈L ∗ w ∗ , v〉 =
ij
n�
j=1
x ′ j xj = �
a ∗ ji y ′ i xj .
Uguagliando in base alla definizione di L ∗ , si vede che a ∗ ji = aij per ogni i e j , cioè che A ∗ = A T .
8.4. Esercizio. Siano Ω un aperto di Rd e p, q ∈ (1, +∞) due esponenti coniugati. Sia poi
k ∈ Lq (Ω × Ω) . Si verifichi che, per ogni v ∈ Lp (Ω) , la formula
�
(Kv)(x) = k(x, y) v(y) dy
Ω
definisce (Kv)(x) per q.o. x ∈ Ω e che la funzione Kv appartiene a L q (Ω) . Si controlli che
l’applicazione di K : L p (Ω) → L q (Ω) che a ogni v ∈ L p (Ω) associa Kv è lineare e continua.
Infine si determini l’aggiunto K ∗ : L q (Ω) ∗ = L p (Ω) → L p (Ω) ∗ = L q (Ω) , le identificazioni essendo
effettuate tramite le mappe di Riesz.
8.5. Esercizio. Siano p ∈ [1, +∞) e V = Lp (Rd ) . Per h ∈ Rd si definisca T p
h : V → V
mediante la formula (T p
p
v)(x) = v(x + h) q.o. Si verifichi che T è un operatore lineare e continuo
h h
e, scritto V ∗ = Lq (Rd ) , ove q = p ′ , tramite la mappa di Riesz, si determini l’aggiunto (T p
h )∗ .
8.6. Esercizio. Si risolva l’esercizio precedente sostituendo la definizione di T p
h v con la seguente:
v)(x) = v(hx) q.o., ove ora h è una matrice d × d reale non singolare.
(T p
h
8.7. Esercizio. Siano p ∈ [1, +∞) e q = p ′ . Per x = {xn} ∈ ℓ p si definisca y = {yn}
mediante le formule y1 = 0 e yn = xn−1 se n ≥ 2 . Controllato che y ∈ ℓ p , si denoti con L
l’applicazione x ↦→ y . Si verifichi che L è lineare e continuo e si determini l’aggiunto L ∗ : ℓ q → ℓ q ,
avendo identificato gli spazi (ℓ p ) ∗ e ℓ q tramite la mappa di Riesz.
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ij
Gianni Gilardi