G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
dimostriamo che u appartiene anche a Cp1 . Per la dimostrazione fatta sopra vediamo che, almeno
per una sottosuccessione che tuttavia continuiamo a chiamare {un} per semplicità, si ha u ′ n ⇀ u ′
in L 2 (Ω) . Allora, per ogni intervallo ω ⊆ Ω limitato, si ha u ′ n ⇀ u ′ anche in L 1 (ω) . Grazie
alla (2.3), deduciamo
�
ω
|u ′ | dx = �u ′ � L 1 (ω) ≤ lim inf
n→∞ �u′ n� L 1 (ω) ≤ lim inf
n→∞ �u′ n� L 1 (Ω) ≤ 1.
Dunque �
ω |u′ | dx ≤ 1 per ogni intervallo ω ⊆ Ω limitato, da cui �
Ω |u′ | dx ≤ 1 e u ∈ Cp1 .
Non distante, come ordine di idee, dall’esempio fatto è il seguente corollario del Teorema 7.2,
spesso utile. Rimandiamo tuttavia esempi in proposito dato che gli spazi vettoriali topologici adatti
alle situazioni concrete fanno intervenire le topologie deboli che trattiamo più avanti.
7.6. Corollario. Siano V uno spazio di Banach immerso in uno spazio vettoriale topologico W
e si supponga che ogni successione debolmente convergente in V converga in W allo stesso limite.
Siano inoltre {vn} una successione di elementi di V e w ∈ W tali che vn → w in W . Allora, se
V è riflessivo e {vn} è limitata in V , si ha w ∈ V e vn ⇀ w in V .
Dimostrazione. Dimostriamo che w ∈ V . Siccome {vn} è limitata e V è riflessivo, possiamo estrarre
una sottosuccessione {vnk } convergente debolmente in V a un certo v ∈ V . D’altra parte questa sottosuccessione,
come tutta la successione data, converge a w in W . Siccome W è uno spazio di Hausdorff,
deduciamo che w = v ∈ V .
Ora che sappiamo che w ∈ V , possiamo passare alla dimostrazione della convergenza debole di {vn}
a w in V . Grazie alla Proposizione A.1.9, basta dimostrare che da ogni sottosuccessione estratta da {vn}
si può ulteriormente estrarre una sottosuccessione convergente debolmente a w in V . A tale scopo, basta
ripetere il discorso appena fatto sostituendo la successione data con la sottosuccessione dalla quale si vuole
estrarre ulteriormente.
8. L’aggiunto di un operatore lineare e continuo
Se A è una matrice con m righe e n colonne, essa può essere interpretata come un operatore
lineare A : R n → R m , precisamente operatore x ↦→ Ax , ove resta inteso che x è visto come
vettore colonna. Sia ora A T la matrice trasposta di A . Anche questa rappresenta un operatore
lineare A T , questa volta A T : R m → R n , il quale realizza l’uguaglianza x T A T y = y T Ax per ogni
x ∈ R n e y ∈ R m . Se rileggiamo tale uguaglianza nella forma (A T y) · x = y · Ax , ove il punto
rappresenta ciascuno dei due prodotti scalari euclidei, abbiamo indicazioni su come estendere la
nozione di trasposizione al caso di un operatore L : V → W che opera fra spazi prehilbertiani
reali: la formula da realizzare dovrà essere (L ∗ w, v) = (w, Lv) e L ∗ dovrà operare da W a V .
Se infine vogliamo vedere come procedere nell’ambito degli spazi normati, supponiamo dapprima
V e W spazi di Hilbert reali e riscriviamo la formula precedente in forma di dualità utilizzando
l’isomorfismo di Riesz: 〈L ∗ w, v〉 = 〈w, Lv〉 . Questa volta, però, L ∗ opera dal duale W ∗ nel
duale V ∗ e w appartiene a W ∗ anziché a W .
Dopo questo discorso euristico, tuttavia, occorre procedere con precisione e si vede che non si
incontrano difficoltà se si considerano solo operatori lineari e continui che operano fra spazi normati,
indifferentemente reali o complessi. Il caso degli operatori lineari non limitati (cioè, lo ricordiamo,
non necessariamente definiti su tutto lo spazio e non necessariamente continui) verrà considerato
successivamente. In tale occasione vedremo anche come si tratta il caso degli spazi di Hilbert
complessi, per i quali l’identificazione con i rispettivi duali offre qualche problema di antilinearità.
8.1. Definizione. Siano V e W due spazi normati e L ∈ L(V ; W ) . L’operatore duale o
trasposto o aggiunto di L è l’operatore
cioè l’operatore che rende vera l’uguaglianza
L ∗ : W ∗ → V ∗ definito da w ∗ ↦→ w ∗ ◦ L
〈L ∗ w ∗ , v〉 = 〈w ∗ , Lv〉 per ogni v ∈ V e w ∗ ∈ W ∗ (8.1)
ove le due dualità sono quella fra V ∗ e V e quella fra W ∗ e W rispettivamente.
Analisi Funzionale
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