G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
estrarre una sottosuccessione {xnk } convergente debolmente in V0 a un certo x ∈ V0 . Sia ora f ∈ V ∗ ,
siccome la restrizione f0 di f a V0 appartiene a V ∗
0 , abbiamo
Dunque xnk ⇀ x in V .
lim 〈f, xnk 〉 = lim
k→∞ k→∞ 〈f0, xnk 〉 = 〈f0, x〉 = 〈f, x〉.
L’ipotesi di riflessività che compare nel Teorema 7.2 non può assolutamente essere rimossa.
Vale infatti il seguente risultato, che ci limitiamo a enunciare:
7.3. Teorema (di Eberlein-ˇSmulian). Se da ogni successione limitata in uno spazio di Banach
V si può estrarre una sottosuccessione debolmente convergente, allora V è riflessivo.
Di fatto il Teorema di Eberlein- ˇ Smulian dimostra una cosa diversa, sulla quale per ora non
possiamo dire nulla, e ha l’enunciato precedente come conseguenza.
7.4. Esercizio. Sia Ω un aperto limitato di R d . Si dimostri che se vn ⇀ v in C 0 (Ω) allora
{vn} converge puntualmente a v . Usando prima il Teorema 7.2 e poi il Teorema 7.1, si deduca
che C 0 (Ω) non è riflessivo e che nemmeno L ∞ (Ω) lo è, almeno nel caso considerato.
7.5. Esempio. Siano Ω un intervallo aperto di R e p, q ∈ [1, +∞] e si definisca
Cpq = {v ∈ L p (Ω) : v ′ ∈ L q (Ω), �v ′ �q ≤ 1}
ove v ′ va intesa in senso debole. Vogliamo decidere se Cpq è chiuso in L p (Ω) . Sia dunque {un}
una successione di elementi di Cpq convergente in L p (Ω) a un certo u ∈ L p (Ω) : dobbiamo vedere
se u ∈ Cpq . Supponiamo dapprima q > 1 . Allora, applicando, rispettivamente nei due casi
q ∈ (1, +∞) e q = +∞ , i teoremi di compattezza sequenziale 7.2 e 6.6 alla successione {u ′ n}
delle derivate e tenendo conto dell’Esercizio IV.4.11, vediamo che esistono w ∈ Lq (Ω) e una
sottosuccessione {unk } tali che
u ′ nk ⇀ w e u′ nk
∗
⇀ w rispettivamente per q ∈ (1, +∞) e q = +∞ .
Dimostriamo che w = u ′ in senso debole. Se v ∈ C ∞ c (Ω) , si ha
�
Ω
u ′ nkv dx = −
�
unk
Ω
v′ dx per ogni k da cui
q∈[1,+∞]
�
Ω
q∈(1,+∞]
�
wv dx = − uv
Ω
′ dx
dato che v ∈ Lq′ (Ω) . Dunque w = u ′ in senso debole. La disuguaglianza �w�q ≤ 1 segue poi
dalle (2.3) e (4.10) rispettivamente per q ∈ (1, +∞) e q = +∞ . Quindi u ∈ Cpq e Cpq è chiuso.
Se q = 1 , invece, non abbiamo risultati di compattezza utili allo scopo. Di fatto le cose vanno
diversamente come mostra l’esempio seguente: supponendo p < +∞ , prendiamo Ω = (−1, 1) e
un ∈ C1 [−1, 1] non decrescente, nulla in (−1, 0) e tale che un(x) = 1 per x ≥ 1/n . Allora
u ′ n ≥ 0 , per cui �u ′ n�1 = 1 , e quindi un ∈ Cp1 per ogni n . Ma la successione {un} converge in
Lp (−1, 1) alla funzione caratteristica di (0, 1) e questa non ha derivata debole (Osservazione I.5.64).
Quindi il limite non appartiene a Cp1 , il quale, dunque, non è chiuso in Lp (−1, 1) . Se p = +∞ ,
si deve modificare il discorso e prendere funzioni un differenti a causa della convergenza uniforme,
ma si arriva comunque a dimostrare che nemmeno C∞1 è chiuso: si prendano le funzioni un , tutte
lipschitziane e non decrescenti, e la funzione u di Vitali definite nell’Esempio I.5.65.
Vogliamo ora dimostrare che risulta chiusa in Lp (Ω) l’intersezione Cp , ottenuta al variare di
q in [1, +∞] , di tutti gli insiemi Cpq . Siccome il caso q = 1 è, come abbiamo visto, eccezionale,
occorre un trucco:
Cp = �
Cpq = (Cp1 ∩ Cp2) �� � �
.
Basta allora dimostrare che è chiusa l’intersezione Cp1 ∩ Cp2 . Sia {un} una successione di elementi
di tale insieme convergente a u in L p (Ω) . Siccome Cp2 è chiuso abbiamo u ∈ Cp2 e ora
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Cpq
Gianni Gilardi