G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
3.19. Definizione. Sia V uno spazio vettoriale. Si dice che due norme � · � ′ e � · � ′′ in V sono
equivalenti quando esistono due costanti c1 e c2 tali che
�x� ′ ≤ c1�x� ′′
e �x� ′′ ≤ c2�x� ′ per ogni x ∈ V . (3.11)
Chiaramente due norme equivalenti inducono in V la stessa topologia, cioè, come si usa dire,
sono topologicamente equivalenti. Vedremo in seguito che, viceversa, se due norme inducono in V
la stessa topologia, allora esse sono equivalenti nel senso della definizione precedente.
3.20. Teorema. Se lo spazio vettoriale V ha dimensione finita, allora tutte le norme in V sono
equivalenti fra loro.
Dimostrazione. Siano n = dim V , la dimensione di V , che supponiamo positiva, e B = {e1, . . . , en}
una base di V . Rappresentato il generico punto x ∈ V nella forma x = �n i=1 xiei e ricordato che tale
rappresentazione è unica, poniamo |x|1 = �n i=1 |xi| . Allora la funzione x ↦→ |x|1 da V in R è una norma
in V . Sia ora � · � una norma qualunque in V : basterà dimostrare che � · � è equivalente a | · |1 . Si ha
immediatamente
�x� =
�
�
�
n�
i=1
xiei
�
�
� ≤
n�
i=1
|xi| �ei� ≤ M|x|1 per ogni x ∈ V ove M = max
1≤i≤n �ei�. (3.12)
Per dimostrare la maggiorazione in senso opposto ragioniamo per assurdo: non esista alcuna costante M ′
tale che |x|1 ≤ M ′ �x� per ogni x ∈ V . Allora esiste una successione {x (k) } di elementi di V tale
che |x (k) |1 > k�x (k) � per ogni k . Osservato che x (k) �= 0 e posto y (k) = x (k) /|x (k) |1 , per ogni k
valgono l’uguaglianza |y (k) |1 = 1 e la disuguaglianza �y (k) � < 1/k . Segue |y (k)
i | ≤ 1 per ogni k e i e
n applicazioni successive del Teorema di Bolzano-Weierstrass consentono di costruire una sottosuccessione
{y (kj) } e un elemento y ∈ V verificanti
lim
j→∞ y(kj)
i = yi per i = 1, . . . , n
ove l’indice i denota la i -esima coordinata rispetto alla base B . Ciò implica
lim
j→+∞ |y(kj) − y|1 = 0 e |y|1 = lim
j→∞ |y(kj) |1 = 1 da cui y �= 0.
Allora la (3.12) fornisce limj→+∞�y (kj) − y� = 0 e, applicando la (2.4) a � · � e ricordando che y �= 0 ,
abbiamo anche limj→+∞�y (kj) � = �y� > 0 . D’altra parte risulta
Abbiamo dunque una contraddizione.
�y (kj) � < 1/kj per ogni j , da cui lim
j→∞ �y(kj) � = 0.
3.21. Teorema. Siano V e W due spazi normati e L ∈ Hom(V ; W ) . Se V ha dimensione
finita allora L è continuo.
Dimostrazione. Possiamo senz’altro supporre che L non sia l’operatore nullo. Dunque ciascuno dei due
spazi V e W0 = L(V ) ha dimensione finita e positiva. Scelte due basi in V e in W0 e rappresentato L
tramite una matrice, le coordinate dell’immagine Lv del generico punto v ∈ V
coordinate di V . Vale dunque una disuguaglianza del tipo
sono polinomi lineari nelle
�m j=1 |(Lv′ − Lv ′′ )j| ≤ M �n i=1 |(v′ − v ′′ )i| , ove
l’indice denota la j -esima o i -esima coordinata del vettore considerato rispetto alla base di W0 o di V .
Ciò implica che L è continuo rispetto alla topologia di V indotta dalla norma �v� = �
i |vi| e alla topologia
di W0 indotta dalla norma analoga. Grazie al risultato precedente, ciò implica la continuità rispetto alle
norme preesistenti.
8
Gianni Gilardi