G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
Siccome C ∞ c (R d ) è denso in W 1,p (R d ) (si ricordi la (II.3.5)), la disuguaglianza ottenuta vale anche
per ogni u ∈ W 1,p (R d ) . Riassumendo
se p ∈ (1, +∞) condizione necessaria e sufficiente perché una funzione u ∈ L p (R d )
appartenga a W 1,p (R d ) è che esista una costante M tale che valga la (6.3).
La condizione è solo necessaria se p = 1 e, per p ∈ [1, +∞) , se u ∈ W 1,p (R d ) , si può prendere
M = �∇u�p nella (6.3).
7. Compattezza debole sequenziale
Cerchiamo di dedurre un risultato di compattezza debole sequenziale dal Teorema 6.6: ogni successione
limitata {xn} di elementi dello spazio di Banach V ha una sottosuccessione debolmente
convergente. Questo risultato è falso per un generico spazio di Banach e ora ne vediamo il motivo.
Considerando la successione {Jxn} immagine della data tramite l’isomorfismo canonico, successione
che pure è limitata. Ricordando la corrispondenza (4.9) che J induce fra convergenza
debole in V e convergenza debole* in V ∗∗ , si può pensare di dedurre che {xn} ha una sottosuccessione
convergente debolmente. Ma questo tentativo si inceppa. Prima occorrerebbe un’ipotesi di
separabilità su V ∗ . D’altra parte da {Jxn} potremmo solo estrarre una sottosuccessione {Jxnk }
convergente debolmente* in V ∗∗ a un certo elemento F ∈ V ∗∗ e un candidato x ∈ V limite debole
di {xnk } dovrebbe verificare Jx = F . Dunque serve anche l’ipotesi di riflessività.
Al fondamentale risultato di compattezza debole ne premettiamo uno di riflessività, che riesce a
farci evitare ipotesi di separabilità. Segnaliamo però fin d’ora che questo ha anche altre conseguenze
notevoli, come sarà evidenziato nel capitolo dedicato agli spazi riflessivi. La dimostrazione che
diamo utilizza per ben due volte il Teorema di Hahn-Banach.
7.1. Teorema. Ogni sottospazio chiuso V0 di uno spazio riflessivo V è esso stesso riflessivo.
Dimostrazione. Denotiamo con J : V → V ∗∗ e con J0 : V0 → V ∗∗
0
gli isomorfismi canonici degli spazi V
e V0 rispettivamente. Usando il fatto che J è suriettivo e che V0 è chiuso dimostriamo che J0 è suriettivo.
Sia F0 ∈ V ∗∗
0 . Definiamo F : V ∗ → K mediante la formula F (f) = 〈F0, f|V0 〉 per f ∈ V ∗ e osserviamo
che F ∈ V ∗∗ , per cui F = Jx per un certo x ∈ V . Abbiamo dunque
〈f, x〉 = 〈F, f〉 = 〈F0, f|V0 〉 per ogni f ∈ V ∗ . (7.1)
Dimostriamo che x ∈ V0 . Ragionando per assurdo, supponiamo x �∈ V0 . Allora, per il Corollario 2.6
del Teorema di Hahn-Banach, esiste g ∈ V ∗ che si annulla su V0 , per cui 〈F0, g|V0〉 = 0 , e che verifica
〈g, x〉 �= 0 . Ma ciò contraddice la (7.1). Dunque x ∈ V0 e ora dimostriamo che F0 = J0x . Sia infatti
f0 ∈ V ∗
0 . Applicato il Corollario 2.1 del Teorema di Hahn-Banach, troviamo f ∈ V ∗ che prolunga f0 .
Ricordando la (7.1) abbiamo pertanto
e l’arbitrarietà di f0 ∈ V ∗
0 implica che F0 = J0x .
〈F0, f0〉 = 〈F0, f|V0 〉 = 〈f, x〉 = 〈f0, x〉
7.2. Teorema (di compattezza debole sequenziale). Sia V uno spazio di Banach riflessivo.
Allora da ogni successione limitata {xn} di elementi di V si può estrarre una sottosuccessione
debolmente convergente ad un elemento x ∈ V .
Dimostrazione. Riprendiamo il discorso introduttivo e formalizziamolo. Supponiamo dapprima V anche
separabile. Per il Corollario 5.13, anche V ∗ è separabile. Allora possiamo applicare il Teorema 6.6 allo spazio
V ∗ e alla successione {Jxn} , che è limitata in V ∗∗ . Troviamo F ∈ V ∗∗ e una sottosuccessione {xnk } tale
che {Jxnk } converga debolmente* a F . Grazie all’ipotesi di riflessività, esiste x ∈ V tale che Jx = F .
Dunque xnk ⇀ x in V per la (4.9).
Consideriamo ora il caso generale. Siano S l’immagine della successione data {xn} e V0 = span S .
Allora V0 è separabile. D’altra parte esso è anche riflessivo per il Teorema 7.1. Allora da {xn} possiamo
Analisi Funzionale
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