G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
6.9. Osservazione. Il caso q = 1 , non considerato nel teorema, deve essere effettivamente
escluso. Per coordinare quanto diciamo con altre considerazioni supponiamo Ω anche limitato.
Fissato x0 ∈ Ω consideriamo la successione definita dalla formula un = nd χn ove χn è la funzione
caratteristica di B1/n(x0) . Allora �un�1 = |B1| , la misura di Lebesgue
�
della palla unitaria,
per n abbastanza grande (in modo che la palla sia inclusa in Ω ) e limn→∞ Ω unv dx = |B1|v(x0)
per ogni v ∈ C 0 (Ω) . Se {un} convergesse debolmente in L 1 (Ω) a u ∈ L 1 (Ω) , dovremmo avere
�
Ω uv dx = |B1|v(x0) per ogni v ∈ C0 (Ω) . Ma ciò è impossibile per il Corollario I.5.55.
Non è inutile chiarire ulteriormente che succede alla successione {un} considerata: se ricordiamo
l’Esempio 4.13, vediamo chiaramente che {un} converge debolmente* in C0 (Ω) ∗ alla misura
µ = |B1(0)|δx0 . Ora, questa misura non è immagine, tramite la corrispondenza che abbiamo inter-
pretato come identificazione, di alcun elemento di L 1 (Ω) , e la dimostrazione di questo fatto è data
dalle considerazioni fatte sopra. Ancora, possiamo dire che le misure che provengono da funzioni di
L 1 (Ω) sono quelle assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue, e la misura µ in esame
non lo è, e che L 1 (Ω) non è sequenzialmente chiuso rispetto alla convergenza debole* di C 0 (Ω) ∗ .
Notiamo infine che la successione {un} converge a 0 q.o. in Ω , mentre la sua immagine
in C 0 (Ω) ∗ converge a un funzionale non nullo. Ne traiamo l’avvertimento seguente: la convergenza
q.o., quando la topologia da considerare è legata a convergenze di tipo diverso da quelle
forti degli spazi di Lebesgue, non va presa in considerazione in quanto può portare a candidati non
idonei a essere limiti nelle topologie considerate.
6.10. Esempio. Siano p ∈ (1, +∞) e u ∈ Lp (Rd ) . Supponiamo che esista M ≥ 0 tale che
� �
�
�
�
u(x + h) − u(x) �p
�
� |h| � dx ≤ M p per ogni h ∈ Rd \ {0} (6.3)
Rd e dimostriamo che u ∈ W 1,p (Rd ) e che, per i = 1, . . . , d , la derivata Diu è il limite debole in
Lp (Rd ) per t → 0 del rapporto incrementale ui t definito da ui t(x) = (u(x + tei) − u(x))/t q.o.
in Rd . A tal fine osserviamo che, per ogni v ∈ C∞ c (Rd ) , l’analogo rapporto incrementale vi t
converge uniformemente a Div per il Teorema del valor medio e la continuità uniforme di Div .
D’altra parte, se denotiamo con BR(0) una palla fuori della quale v è nulla e supponiamo |t| ≤ 1 ,
si ha vi t(x) = 0 per |x| > R + 1 . Si deduce che vi t converge a Div anche in ogni Lq (Rd ) , in
particolare con q = p ′ . Ne consegue che
�
lim
t→0
u i �
t v dx = − lim
t→0
u v i �
−t dx = −
R d
R d
R d
u Div dx per ogni v ∈ C ∞ c (R d ) .
Ma la (6.3) implica che �u i t� ≤ M per ogni t �= 0 , per cui siamo nelle condizioni di applicare il
Teorema 6.8 (nella versione con parametro t ∈ R anziché n ∈ N ). Deduciamo che la famiglia {u i t}
converge debolmente in L p (R d ) a una funzione wi e che questa verifica
�
R d
�
wi v dx = lim
t→0
R d
u i �
t v dx = −
R d
u Div dx per ogni v ∈ C ∞ c (R d ) .
Quindi wi è la derivata debole Diu e i rapporti incrementali u i t convergono a tale derivata
debolmente in L p (R d ) . Siccome ciò vale per ogni i , concludiamo anche che u ∈ W 1,p (R d ) .
6.11. Esercizio. Mostrare che la funzione u ∈ L 1 (R) data dalle formule u(x) = e −x se x > 0 e
u(x) = 0 se x < 0 verifica la (6.3) con p = 1 ma non appartiene a W 1,1 (R) (cioè p = 1 non va).
6.12. Osservazione. Notiamo invece che la (6.3) è necessaria per l’appartenenza u ∈ W 1,p (Rd )
in generale per p ∈ [1, +∞) . Sia infatti u ∈ C∞ c (Rd ) . Allora, usando la formula fondamentale del
calcolo, la disuguaglianza di Hölder, il Teorema di Fubini e un cambiamento di variabile, abbiamo
�
Rd �
�
�
�
u(x + h) − u(x) �p
�
� |h| � dx = |h| −p
�
Rd ��
�
� 1
p �
�
�
� ∇u(x + th) · h dt�
� dx ≤
0
Rd � 1
|∇u(x + th)|
0
p dt dx
� 1 �
= |∇u(x + th)| p � 1 �
dx dt = |∇u(y)| p dy dt = �∇u� p p .
114
0
R d
0
R d
Gianni Gilardi