G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
5.12. Teorema. Sia V uno spazio normato. Se V ∗ è separabile, allora anche V lo è.
Dimostrazione. Sia {fn : n = 1, 2, . . .} un sottoinsieme numerabile denso di V ∗ . Per ogni n sia xn ∈ V
tale che �xn� = 1 e |〈fn, xn〉| ≥ (1/2)�fn�∗ . Dimostriamo che il sottospazio V0 = span{xn : n = 1, 2, . . .}
è denso in V , cioè la ii) del Teorema 5.2. Ma ciò segue dal Corollario 2.7 se dimostriamo che l’unico
elemento f ∈ V ∗ che si annulla su V0 è il funzionale nullo. Sia dunque f ∈ V ∗ tale che 〈f, v〉 = 0 per
ogni v ∈ V0 . Fissato ε > 0 ad arbitrio, scegliamo n tale che �f − fn�∗ ≤ ε . Allora
da cui f = 0 per l’arbitrarietà di ε .
�f�∗ ≤ �f − fn�∗ + �fn�∗ ≤ ε + �fn�∗ ≤ ε + 2|〈fn, xn〉|
= ε + 2|〈fn − f, xn〉| ≤ ε+ ≤ 2�fn − f�∗�xn� ≤ 3ε
5.13. Corollario. Se V è uno spazio di Banach riflessivo, allora esso è separabile se e solo se il
suo duale è separabile.
Dimostrazione. Se V ∗ è separabile, anche V lo è per il teorema precedente. Supponiamo ora V separabile.
Siccome V è riflessivo, V ∗∗ è isomorfo a V , dunque separabile. Applicando il teorema precedente
a V ∗ , deduciamo che esso è separabile.
6. Compattezza debole* sequenziale
Questo paragrafo è dedicato principalmente a un fondamentale risultato di compattezza sequenziale,
analogo, dunque, al Teorema IV.5.1. Esso riguarda la convergenza debole*. Premettiamo un
risultato propedeutico, la proposizione enunciata di seguito, che è anche utile di per sé, come
mostrano le applicazioni significative che diamo tra breve. Altrettanto utile è poi il corollario che
la segue e che costituisce una sorta di duale della proposizione stessa.
6.1. Proposizione. Siano V uno spazio normato e D un sottoinsieme denso di V . Sia inoltre
{fn} una successione limitata in V ∗ tale che, per ogni x ∈ D , la successione {〈fn, x〉} converga.
Allora {fn} converge debolmente* in V ∗ .
Dimostrazione. Sia M tale che �fn�∗ ≤ M per ogni n . Sia ora x ∈ V : proviamo che la successione
numerica {〈fn, x〉} converge. A tale scopo basta controllare che essa è di Cauchy. Fissiamo dunque ε > 0 .
Siccome D è denso in V , possiamo scegliere y ∈ D tale che �x − y� ≤ ε . Per ogni n, m abbiamo allora
|〈fn, x〉 − 〈fm, x〉| ≤ |〈fn, x〉 − 〈fn, y〉| + |〈fn, y〉 − 〈fm, y〉| + |〈fm, y〉 − 〈fm, x〉|
≤ �fn� �x − y� + �fm� �y − x� + |〈fn, y〉 − 〈fm, y〉| ≤ 2Mε + |〈fn, y〉 − 〈fm, y〉|.
Ma la successione {〈fn, y〉} è di Cauchy in quanto convergente. Allora esiste n ∗ tale che, per ogni coppia
di indici n, m ≥ n ∗ , l’ultimo termine della catena precedente sia ≤ ε . Per n, m ≥ n ∗ , dunque, abbiamo
che |〈fn, x〉 − 〈fm, x〉| ≤ (2M + 1)ε . Controllata la convergenza della successione {〈fn, x〉} per ogni x ,
possiamo definire f : V → R mediante la formula
f(x) = lim
n→∞ 〈fn, x〉 per x ∈ V .
Si controlla immediatamente che f è lineare. D’altra parte si ha |〈fn, x〉| ≤ M�x� per ogni x ∈ V e
n ≥ 1 . Dunque, passando al limite, otteniamo |f(x)| ≤ M�x� per ogni x ∈ V . Ciò mostra che f ∈ V ∗ .
Allora la definizione stessa di f fornisce fn ∗ ⇀ f in V ∗ .
6.2. Corollario. Siano V uno spazio di Banach riflessivo e D ∗ un sottoinsieme denso di V ∗ .
Sia inoltre {xn} una successione limitata in V tale che, per ogni f ∈ D ∗ , la successione {〈f, xn〉}
converga. Allora la successione {xn} converge debolmente in V .
Dimostrazione. Si consideri la successione {Jxn} immagine tramite l’isomorfismo canonico: essa è una
successione limitata in V ∗∗ tale che, per ogni f ∈ D ∗ , la successione numerica {〈Jxn, f〉} converge. Per
il risultato precedente, applicato a V ∗ e a D ∗ , la successione {Jxn} converge debolmente* in V ∗∗ a un
certo F ∈ V ∗∗ . Siccome V è riflessivo, risulta F = Jx per un certo x ∈ V e la conclusione precedente
diventa: Jxn ∗ ⇀ Jx in V ∗∗ . Allora la tesi segue dalla (4.9).
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Gianni Gilardi