G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
Ri per i = 1, . . . , n e si annulli altrove e sia M > 0 tale che M ≥ maxi=1,...,n |ci| . Per i = 1, . . . , n , si
prenda R ′ i ∈ R incluso in Ri tale che |Ri \ R ′ i | ≤ εp /(nM p ) e sia χi ∈ X la funzione caratteristica di R ′ i .
Allora la funzione w = �n i=1 ciχi appartiene a span X e verifica
�w − s� p p =
n�
�
i=1
Ri
|w − s| p dx =
Segue che �w − v�p ≤ �w − s�p + �s − v�p ≤ 2ε .
n�
|ci| p |Ri \ R ′ i| ≤
i=1
n�
i=1
M p ε p
nM p = εp .
5.8. Osservazione. Il risultato precedente vale in realtà per ogni spazio di misura (Ω, M, µ)
σ -finito che è separabile nel senso seguente: esiste un sottoinsieme M ′ ⊆ M al più numerabile
che genera la σ -algebra M a meno di insiemi di misura nulla.
Il caso dell’aperto Ω ⊆ R d considerato sopra rientra appunto in questa categoria dato che,
come M ′ , si può prendere la famiglia R utilizzata nella dimostrazione. Questa, infatti, genera
l’algebra di Borel e ogni insieme misurabile secondo Lebesgue differisce da un insieme di Borel per
un insieme di misura nulla.
Un altro spazio importante che rientra in questa categoria è quello della frontiera Γ di un
aperto regolare di R d , diciamo limitato e di classe C 1 con d > 1 , quando la misura è la misura
(d − 1) -dimensionale usuale (lunghezza d’arco se d = 2 , area superficiale se d = 3 ). In tal caso,
infatti, Γ si ricopre con un numero finito di sue parti Γi , i = 1, . . . , m , che sono le immagini di
altrettanti aperti ωi di R d−1 tramite funzioni ϕi di classe C 1 con matrice jacobiana di rango
costante d−1 . Allora si possono prendere, in ciascuno degli ωi , i rettangoli con vertici di coordinate
razionali e su Γ le immagini di questi tramite le funzioni ϕi : anche in questo caso la σ -algebra
generata è l’algebra di Borel di Γ .
5.9. Corollario. Siano Ω un aperto di R d e k ≥ 0 un intero e si supponga p ∈ [1, +∞) .
Allora W k,p (Ω) è separabile.
Dimostrazione. Lo spazio W k,p (Ω) è isomorfo a un sottospazio (chiuso) di una certa potenza L p (Ω) N
di L p (Ω) . Siccome il prodotto di spazi separabili è separabile (facile verifica) e ogni spazio topologico
omeomorfo a uno spazio separabile è separabile, la tesi segue dalle Proposizioni 5.7 e 5.1.
Se L p (Ω) è separabile per una vasta classe di spazi di misura, lo spazio L ∞ (Ω) , al contrario,
è separabile solo in casi estremi e privi di interesse. Esso, infatti, rientra di solito nel criterio di
non separabilità che diamo di seguito.
5.10. Proposizione. Sia (S, d) uno spazio metrico. Se esistono un sottoinsieme A non numerabile
e un numero δ > 0 tali che
allora (S, d) non è separabile.
d(x, y) ≥ δ per ogni coppia di punti distinti x, y ∈ A
Dimostrazione. Sia S ′ un sottoinsieme al più numerabile, che presentiamo come immagine di una successione
{xn} , iniettiva o meno. Per ogni n si consideri la palla Bn = B δ/3(xn) : questa contiene al massimo
un punto di A . Sia A ′ l’insieme dei punti x ∈ A che appartengono ad almeno un Bn : allora A ′ è al più
numerabile. Segue che A \ A ′ non è vuoto. Sia x0 ∈ A \ A ′ . Allora d(x0, xn) ≥ δ/3 per ogni n , cioè
d(x0, y) ≥ δ/3 per ogni y ∈ S ′ , così che S ′ non è un sottoinsieme denso.
5.11. Esempio. Per vedere che L ∞ (Ω) non è separabile, basta allora essere in grado di costruire
un’applicazione t ↦→ vt da un intervallo I in L ∞ (Ω) e un numero δ > 0 tali che �vt − vs�∞ ≥ δ
per ogni coppia di punti s, t ∈ I distinti, e ciò, di solito, si riesce a fare. Ad esempio, se Ω è un
aperto di R d , fissata una palla Br(x0) ⊆ Ω , per t ∈ (0, r) , consideriamo la funzione caratteristica
vt della palla Bt(x0) . Allora �vt − vs�∞ = 1 per 0 < s < t < r .
Si noti che, se Ω è un aperto di R d , anche (L 1 (Ω)) ∗ , in quanto isometricamente isomorfo
a L ∞ (Ω) , non è separabile, mentre L 1 (Ω) lo è. Concludiamo che
la separabilità di uno spazio di Banach non implica quella del suo duale. (5.3)
Usiamo invece ancora una volta il Teorema di Hahn-Banach (attraverso il Corollario 2.7) per dimostrare
il risultato successivo.
Analisi Funzionale
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