G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Per comodità diciamo che due quadrati Q, Q ′ ∈ Qn distinti sono adiacenti quando le loro chiusure hanno
intersezione non vuota e poniamo δn = d1/2 /n , così che |x − y| ≤ δn per ogni coppia di punti di uno
stesso quadrato Q ∈ Qn e |x − y| ≤ 2δn se x e y appartengono a due quadrati adiacenti. Denotiamo
con Ωn l’interno dell’unione delle chiusure di tutti i Q ∈ Qn che intersecano Ω e osserviamo che Ωn è un
aperto che include il compatto Ω . Per la Proposizione A.1.21, esiste εn ∈ (0, δn) tale che Bεn (x) ⊆ Ωn
per ogni x ∈ Ω , in particolare per ogni x ∈ Ω . Introduciamo l’insieme Sn delle funzioni v : R d → R
verificanti le due condizioni seguenti: i) v|Q è (q.o. uguale a una) costante per ogni Q ∈ Qn ; ii) v|Q = 0
se Q ∈ Qn non interseca Ω . Siccome Ω è limitato, Sn è uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Costruiamo ora un’applicazione Rn : Sn → C ∞ (R d ) lineare usando la procedura di regolarizzazione introdotta
nell’Osservazione I.5.51. Fissiamo ρ : R d → R di classe C ∞ verificante le (I.5.28) e definiamo la
regolarizzata Rnv di v ∈ Sn e il sottospazio Vn di C0 �
(Ω) mediante le formule
(Rnv)(x) = v(x + εn y) ρ(y) dy, per v ∈ Sn e x ∈ Rd , e Vn = {(Rnv)|Ω : v ∈ Sn}.
B1(0)
Allora Vn è uno spazio vettoriale e verifica le prime due delle (5.1). Dimostriamo che l’unione di tutti i Vn è
densa in C 0 (Ω) . Fissiamo dunque u ∈ C 0 (Ω) e ε > 0 e costruiamo n e un ∈ Vn tali che �u−un�∞ ≤ 2ε .
Siccome u è uniformemente continua, possiamo scegliere δ > 0 tale che |u(x) − u(y)| ≤ ε per ogni coppia
di punti x, y ∈ Ω verificanti |x − y| ≤ δ . Fissiamo n in modo che δn ≤ δ/2 , così che, se due punti x, y ∈ Ω
appartengono allo stesso quadrato Q ∈ Qn oppure a due quadrati adiacenti, risulta |x − y| ≤ δ e quindi
|u(x) − u(y)| ≤ ε . Denotiamo con sn l’unico elemento di Sn che verifica la condizione: se Q ∈ Qn e Q
interseca Ω , il valore costante che assume sn è la media di u in Q ∩ Ω . Poniamo un = (Rnsn)|Ω così che
un ∈ Vn e dimostriamo che �u − un�∞ ≤ 2ε .
Sia Q ∈ Qn che interseca Ω e siano M± gli estremi superiore e inferiore di u in Q ∩ Ω . Allora
M+ − M− ≤ ε e la media di u su Q ∩ Ω è compresa fra M− e M+ . Segue che |u(x) − sn(x)| ≤ ε per
ogni x ∈ Q ∩ Ω . Data l’arbitrarietà di Q risulta �u − sn�∞ ≤ ε . Quindi resta da valutare �un − sn�∞ .
Osserviamo che, se Q, Q ′ ∈ Qn intersecano Ω e sono adiacenti, allora la differenza dei due valori costanti
che sn assume in Q e in Q ′ ha modulo ≤ ε . Basta infatti ripetere quanto ci ha portato alla stima appena
fatta sostituendo Q con Q ∪ Q ′ nella definizione di M± e ricordare che 2δn ≤ δ . Sia x ∈ Ω e sia Q ∈ Qn
un quadrato la cui chiusura contiene x . Allora si danno due casi: i) la palla Bεn (x) è inclusa in Q ; ii) la
palla Bεn (x) non è inclusa in Q . Denotiamo con c il valore costante che sn assume su Q . Nel primo
caso si ha sn(x + εn y) = c per ogni y ∈ B1(0) e quindi un(x) = c = sn(x) . Nel secondo osserviamo
che Bεn (x) ⊆ Ωn , per cui i valori che sn può assumere in Bεn (x) sono tutti medie su Q′ ∩ Ω ove Q ′ è
Q oppure un quadrato adiacente a Q . Segue che c − ε ≤ sn(x + εn y) ≤ c + ε per ogni y ∈ B1(0) , per
cui c − ε ≤ un(x) ≤ c + ε , cioè |un(x) − sn(x)| ≤ ε . Concludiamo quindi che �un − sn�∞ ≤ ε , da cui
�u − un�∞ ≤ 2ε , e la dimostrazione è conclusa.
5.4. Osservazione. Si noti che, grazie alla (5.1), abbiamo che
per ogni aperto Ω ⊂ R d limitato C ∞ (Ω) è denso in C 0 (Ω) . (5.2)
5.5. Esercizio. Dimostrare la separabilità di C 0 [a, b] come segue. Per ogni n , si suddivida
[a, b] in n intervalli di uguale ampiezza e si consideri il sottospazio delle funzioni v : [a, b] → K
la cui restrizione a ciascuno degli intervalli della suddivisione è un polinomio di grado ≤ 1 .
5.6. Esercizio. Adattare il discorso dell’esercizio precedente al caso in cui Ω è un poligono
di R 2 . Per ogni n , si suddivida Ω in triangoli aventi tutti i lati di lunghezza ≤ 1/n .
5.7. Proposizione. Sia Ω un aperto di R d . Allora lo spazio L p (Ω) è separabile se p < +∞ .
Dimostrazione. Se A ⊆ Ω è un insieme misurabile, denotiamo con |A| la sua misura di Lebesgue.
Sia R la famiglia, che è numerabile, costituita dai rettangoli inclusi in Ω i cui vertici hanno coordinate
razionali. Consideriamo l’insieme X delle funzioni caratteristiche degli elementi di R , che è, come R ,
numerabile. Mostriamo che span X è denso in L p (Ω) . Siano v ∈ L p (Ω) e ε > 0 . Siccome p < +∞ , per
l’Osservazione 2.9 esiste una funzione a scala s tale che �s − v�p ≤ ε . Si fissino i rettangoli R1, . . . , Rn in
numero finito e fra loro disgiunti e altrettante costanti c1, . . . , cn tali che s assuma il valore costante ci in
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Gianni Gilardi