G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

5. Spazi separabili
Il Teorema di Hahn-Banach
Sebbene le questioni di separabilità e il Teorema di Hahn-Banach non sembrino connessi (ma una
connessione la troveremo), preferiamo chiarire subito il concetto e dare almeno un paio di risultati.
Il primo si applica, in particolare, agli spazi normati e il secondo costituisce una comoda caratterizzazione
degli spazi normati separabili. Continuiamo il paragrafo con esempi e applicazioni.
5.1. Proposizione. Se S è uno spazio metrizzabile separabile e S ′ è un suo sottoinsieme non
vuoto, allora S ′ è separabile rispetto alla topologia indotta.
Dimostrazione. Siano d una metrica che induce la topologia e D un sottoinsieme al più numerabile
′(x) e, se questo è
denso in S . Per ogni x ∈ D e ogni r ′ > 0 razionale, consideriamo l’insieme S ′ ∩ Br
non vuoto, scegliamo un suo punto. Denotiamo con D ′ l’insieme di tutti i punti scelti con la procedura
descritta. Allora D ′ è un sottoinsieme al più numerabile di S ′ . Verifichiamo che D ′ è anche denso
in S ′ . Siano x0 ∈ S ′ e r > 0 : dobbiamo dimostrare che D ′ ∩ Br(x0) non è vuoto. La palla Br/2(x0) contiene un elemento x ∈ D e, siccome d(x, x0) < r/2 , esiste un razionale r ′ ∈ (d(x, x0), r/2) . Allora
x0 ∈ S ′ ∩ Br ′(x) , per cui tale intersezione non è vuota. Dunque in essa era stato scelto un certo punto,
′(x) . Deduciamo in particolare
che denotiamo con x ′ , nella costruzione di D ′ . Pertanto x ′ ∈ D ′ ∩ Br
d(x ′ , x0) ≤ d(x ′ , x) + d(x, x0) < r ′ + r/2 < r , per cui si ha anche x ′ ∈ Br(x0) . Dunque D ′ ∩ Br(x0) �= ∅ .
5.2. Teorema. Sia V uno spazio normato. Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: i) lo
spazio V è separabile; ii) esiste un sottoinsieme S ⊆ V al più numerabile tale che span S = V ;
iii) esiste una successione {Vn} di sottospazi di V di dimensione finita la cui unione sia densa
in V ; iv) esiste una successione non decrescente {Vn} di sottospazi di V di dimensione finita la
cui unione sia densa in V .
Dimostrazione. L’enunciato è dato in modo che anche lo spazio ridotto alla sola origine rientri come caso
particolare e in tali condizioni tutto si banalizza. Supponiamo dunque dim V > 0 , nel qual caso l’insieme S
di ii) è necessariamente numerabile in quanto ogni sottoinsieme finito è chiuso. Procediamo. Ovviamente
i) implica ii) dato che span S ⊇ S per ogni sottoinsieme S . Vediamo ora che iii) e iv) sono equivalenti.
Ovviamente iv) implica iii) , ma, viceversa, se {Vn} è una successione di sottospazi di dimensione finita la
cui unione sia densa in V , la successione definita dalla formula Wn = span �� n
k=1 Vk
� non decresce e gode
della stessa proprietà dato che Wn ⊇ Vn per ogni n . Proviamo che ii) implica iv) . Sia S come in ii)
e numerabile: presentiamolo come immagine di una successione {xn} . Posto allora Vn = span{x1, . . . , xn}
per n ≥ 1 , otteniamo la successione desiderata di sottospazi in quanto � ∞
n=1 Vn ⊇ S . Dimostriamo infine
che iv) implica i) . Se {Vn} è come in iv) , posto dn = dim Vn e supponendo senz’altro dn > 0 , si fissi un
isomorfismo In di K dn su Vn e si denoti con Dn un sottoinsieme numerabile denso di K dn (ad esempio
l’insieme dei punti le cui coordinate sono razionali se K = R e hanno parti reale e immaginaria razionali
se K = C ). Allora l’insieme D = � ∞
n=1 In(Dn) è numerabile e denso in V come si verifica facilmente.
Nel prossimo risultato dimostriamo la separabilità di C 0 (Ω) . La dimostrazione che diamo è
un po’ complessa perché da un lato non vogliamo fare ipotesi restrittive su Ω e, d’altro canto,
vogliamo ottenere un altro risultato interessante come sottoprodotto.
5.3. Proposizione. Sia Ω un aperto limitato di R d . Allora lo spazio C 0 (Ω) è separabile.
Dimostrazione. Verifichiamo la proprietà iii) del Teorema 5.2. Più precisamente, costruiamo una successione
{Vn} di sottospazi verificanti
Vn ⊆ C ∞ (Ω) e dim Vn < +∞ per ogni n e
∞�
Vn è densa in C0 (Ω) . (5.1)
La prima delle (5.1) seguirà dal fatto che gli elementi di Vn sono restrizioni a Ω di funzioni di classe C ∞
in tutto R d (Osservazione I.5.43). Supponiamo K = R per semplicità, ma il discorso vale anche nel caso
complesso passando alle parti reali e immaginarie.
Per ogni n ≥ 1 , “quadrettiamo” R d con passo 1/n , consideriamo cioè la famiglia Qn di tutti i
“quadrati” aperti Q di R d della forma Q = � d
i=1 (ai, ai + 1/n) tali che nai sia intero per i = 1, . . . , d .
Analisi Funzionale
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