G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Segnaliamo che, in situazioni di questo tipo, si parla spesso di convergenza debole anziché debole*.
Ad esempio, se x0 ∈ Ω , posto Bn = B 1/n(x0) , possiamo considerare la misura µn definita da
µn(ω) = n d |ω ∩ Bn| per ω ∈ B(Ω) , ove | · | denota la misura di Lebesgue. (4.8)
Allora {µn} converge debolmente* in C0 (Ω) ∗ alla misura µ = |B1(0)|δx0 , ove δx0 è la massa di
Dirac concentrata in x0 . Per v ∈ C0 (Ω) abbiamo infatti
�
lim v dµn = lim
n→∞
n→∞ nd
�
�
�
1
v dx = |B1(0)| lim v dx = |B1(0)| v(x0) = v dµ.
n→∞ |Bn|
Ω
Bn
Segnaliamo infine che, grazie a un risultato di Riesz, ogni funzionale f ∈ C 0 (Ω) ∗ , almeno nel
caso reale, si riesce a rappresentare come differenza di funzionali simili ai precedenti: occorre però
considerare Ω anziché Ω come ambiente. Tuttavia non approfondiamo oltre.
Vogliamo invece immergere L 1 (Ω) in C 0 (Ω) ∗ attraverso la corrispondenza introdotta sopra
fra misure e funzionali. Se w ∈ L1 (Ω) , consideriamo la misura µ definita dalla formula
�
µw(B) = w dx per B ∈ B(Ω)
B
che, effettivamente, è una misura di Borel finita. Mostriamo che la corrispondenza che a ogni
funzione w ∈ L1 (Ω) associa la misura corrispondente è iniettiva: infatti, se w1, w2 ∈ L1 (Ω) e
se le corrispondenti misure coincidono, allora w1 e w2 hanno lo stesso integrale su ogni insieme
di Borel, per cui w1 = w2 q.o. in Ω . Dunque identifichiamo ogni w ∈ L1 (Ω) con la misura µw
associata. Ma questa, a sua volta, è identificata a un elemento di C0 (Ω) ∗ tramite la (4.7) ove si
legga µ = µw , per cui w resta identificata a tale elemento. Riassumendo, la funzione w ∈ L1 (Ω)
è identificata al funzionale
�
v ↦→ 〈µw, v〉 =
�
w dµw =
Ω
Ω
Ha senso, pertanto, chiedersi se una successione {un} di elementi di L1 (Ω) converga debolmente*
in C0 (Ω) ∗ a una funzione di L1 (Ω) , oppure a una misura di Borel finita µ , o più in generale a un
elemento f ∈ C0 (Ω) ∗ . Ad esempio, se x0 ∈ Ω e un = nd χn ove χn è la funzione caratteristica
di B1/n(x0) , la misura µn associata è esattamente quella data dalla (4.8) e possiamo dire che {un}
converge debolmente* in C0 (Ω) ∗ alla misura µ = |B1(0)|δx0 .
Bn
wv dx, per v ∈ C 0 (Ω) .
Confrontiamo ora la convergenza debole in uno spazio normato V con la convergenza debole*,
nel biduale, delle immagini tramite l’isomorfismo canonico J : vediamo che esse hanno esattamente
lo stesso significato semplicemente esplicitando la definizione di J . Inoltre, ancora semplicemente
esplicitando le definizioni di convergenze forte, debole e debole* nel duale di V si vedono chiaramente
i loro legami. Valgono pertanto i due risultati che seguono.
4.14. Proposizione. Siano V uno spazio normato, J l’isomorfismo canonico di V , {xn} una
successione di elementi di V e x ∈ V . Allora
xn ⇀ x in V se e solo se Jxn ∗ ⇀ Jx in V ∗∗ . (4.9)
4.15. Proposizione. Siano V uno spazio normato, {fn} una successione di elementi di V ∗ f ∈ V
e
∗ . Allora valgono le conclusioni seguenti:
i) da fn → f in V ∗ segue fn ⇀ f in V ∗ ;
ii) da fn ⇀ f in V ∗ segue fn ∗ ⇀ f in V ∗ ;
iii) se V è riflessivo, fn ⇀ f in V ∗ se e solo se fn ∗ ⇀ f in V ∗ .
4.16. Osservazione. Vale l’implicazione
da fn ∗ ⇀ f in V ∗ segue �f�∗ ≤ lim inf
n→∞ �fn�∗ . (4.10)
Si ha infatti
|〈f, x〉| = lim
n→∞ |〈fn, x〉| ≤ lim inf
n→∞ �fn�∗�x� per ogni x ∈ V
da cui subito la (4.10). Da questa, usando il Teorema 4.4 e la (4.9), riotteniamo la (V.2.3).
108
Ω
Gianni Gilardi