G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Ma una semplice applicazione del Teorema del valor medio mostra che
|v(x) − vn(x)| = |v(x) − v(x + hn)| ≤ |hn| �∇v�∞ per ogni x .
Allora, scelto R tale che v(x) = 0 per |x| > R e supposto |hn| ≤ 1 , risulta
�v − vn� p �
p = |v − vn| p dx ≤ M|hn| p �∇v� p ∞
BR+1(0)
Il Teorema di Hahn-Banach
ove M è la misura di BR+1(0) . Dunque �v − vn�p ≤ ε per n abbastanza grande e concludiamo.
Al contrario, se p = +∞ in generale è falso che {un} converga fortemente a u in L ∞ (R d ) ,
come si vede prendendo come u una funzione caratteristica (mentre il fatto è vero, come si vede
facilmente, se u è anche uniformemente continua). Senza altre ipotesi si ha però
se p = +∞ allora {un} converge a u debolmente* in L ∞ (R d ) (4.6)
come ora mostriamo. Per ogni v ∈ L1 (Rd ) abbiamo infatti
�
�
�
�
unv dx = u(x + hn) v(x) dx = u(y) v(y − hn) dy =
R d
R d
R d
R d
uvn dy
ove abbiamo posto vn(y) = v(y − hn) . Ma vn converge a v fortemente in L 1 (R d ) per la (4.5).
Deduciamo che l’ultimo integrale converge all’integrale di uv e concludiamo.
4.12. Osservazione. Notiamo che avremmo potuto trarre la stessa conclusione anche se la convergenza
di vn a v in L 1 (R d ) fosse stata solo debole.
4.13. Esempio (convergenza di misure). Siano Ω un aperto limitato di R d e µ una misura
di Borel finita su Ω , vale a dire una misura finita definita sulla σ -algebra B(Ω) degli insiemi di
Borel di Ω . A µ associamo il funzionale fµ ∈ C 0 (Ω) ∗ definito dalla formula
�
fµ(v) =
Ω
v dµ per v ∈ C 0 (Ω) . (4.7)
Si noti che l’integrale ha senso: infatti la controimmagine tramite v di ogni aperto di K è aperta
(poiché v è continua), dunque di Borel, per cui v è misurabile. D’altra parte v è anche limitata
e µ(Ω) è finita. Si vede poi banalmente che tale fµ è lineare e che |fµ(v)| ≤ µ(Ω)�v�∞ , per cui,
effettivamente, fµ ∈ C 0 (Ω) ∗ . Notiamo ora che l’applicazione che a ogni µ di tipo detto associa il
corrispondente fµ è iniettiva. Supponiamo infatti fµ = fν . Allora, se R è un rettangolo compatto
incluso in Ω e χ è la sua funzione caratteristica, approssimata χ rispetto alla convergenza puntuale
con funzioni χ n ∈ C 0 (Ω) (analogamente come si è fatto nella dimostrazione del Lemma I.5.53)
tutte verificanti 0 ≤ χn ≤ 1 , abbiamo per il Teorema di Lebesgue della convergenza dominata
�
�
µ(R) = χ dµ = lim
n→∞
χn dµ = lim
n→∞ fµ(χn) = lim
n→∞ fν(χ
� �
n) = lim
n→∞
χn dν = χ dν = ν(R).
Ω
Ω
Allora µ e ν coincidono anche sugli insiemi di Borel, cioè µ = ν . Grazie all’iniettività possiamo
identificare ogni misura µ considerata con il funzionale corrispondente, scrivere più semplicemente
�
〈µ, v〉 = v dµ per v ∈ C0 (Ω)
Ω
e parlare di convergenza debole* di una successione {µn} alla misura µ : essa significa
� �
lim
n→∞
v dµn = v dµ per v ∈ C0 (Ω) .
Analisi Funzionale
Ω
Ω
Ω
Ω
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