G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
4.6. Definizione. Sia V uno spazio normato. Si dice che una successione {fn} di elementi di
V ∗ converge debolmente* in V ∗ all’elemento f ∈ V ∗ quando
lim
n→∞ 〈fn, x〉 = 〈f, x〉 per ogni x ∈ V . (4.3)
Quando {fn} converge debolmente* in V ∗ a f si scrive fn ∗ ⇀ f in V ∗ .
4.7. Esempio (convergenza debole* in L ∞ (Ω) ). Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -
finito. Allora il Teorema III.3.4 di Riesz afferma che gli elementi del duale V ∗ di V = L 1 (Ω) sono
tutti e soli quelli ottenuti per mezzo della formula
�
〈f, v〉 =
Ω
uv dµ per ogni v ∈ L 1 (Ω)
al variare di u in L ∞ (Ω) e che la corrispondenza fra u ∈ L ∞ (Ω) e f ∈ V ∗ stabilita dalla formula
stessa è un isomorfismo isometrico. Interpretato questo come identificazione, vediamo L ∞ (Ω)
come il duale di uno spazio normato, lo spazio L 1 (Ω) , e possiamo parlare di convergenza debole*.
Abbiamo allora
un ∗ ⇀ u in L ∞ (Ω) se e solo se
�
Ω
�
unv dµ →
Ω
uv dµ per ogni v ∈ L 1 (Ω) . (4.4)
4.8. Osservazione. Se p ∈ (1, +∞) possiamo considerare la convergenza debole in L p (Ω) .
D’altra parte, posto q = p ′ , si ha p = q ′ per cui L p (Ω) può essere identificato al duale di
L q (Ω) tramite la mappa di Riesz. Così facendo, possiamo parlare di convergenza debole* in L p (Ω)
(esattamente come abbiamo fatto per L ∞ (Ω) ). Allora, come si vede subito esplicitandone le
definizioni, le due convergenze hanno lo stesso significato. Fissiamo questo fatto:
se p ∈ (1, +∞) allora un ∗ ⇀ u in Lp (Ω) = Lp′ (Ω) ∗ se e solo se un ⇀ u in Lp (Ω) .
Di fatto, poi, non si parla mai di convergenza debole* in L p (Ω) ma solo di convergenza debole.
4.9. Esercizio. Dimostrare che, se µ(Ω) < +∞ e un ∗ ⇀ u in L ∞ (Ω) , allora un ⇀ u in L p (Ω)
per ogni p ∈ [1, +∞) .
4.10. Esercizio. Si riprenda l’Esercizio IV.4.16, ma si supponga p = +∞ . Si dimostri che
�u(nx) ∗ ⇀ λ in L ∞ (R) .
4.11. Esempio (convergenza delle traslate). Sia p ∈ [1, +∞] . Siano u ∈ L p (R d ) e {hn}
una successione infinitesima di elementi di R d . Poniamo un(x) = u(x + hn) q.o. e per ogni n ,
così che un ∈ L p (R d ) . Sebbene ci si aspetti comunque una convergenza di un a u in qualche
senso, la convergenza da considerare è diversa nei casi p < +∞ e p = +∞ . Osserviamo per
inciso che la convergenza q.o. non è da prendere in considerazione: supponendo infatti di scegliere
per u un rappresentante ovunque definito e di definire di conseguenza un in ogni punto, vediamo
che i punti x nei quali {un(x)} converge a u(x) sono tutti e soli quelli di continuità di u .
Ma i rappresentanti ovunque definiti di una funzione di L p (R d ) possono essere tutti discontinui
addirittura in ogni punto. Riprendiamo il discorso e dimostriamo che
se p < +∞ allora {un} converge a u fortemente in L p (R d ) . (4.5)
Sia ε > 0 . Siccome C ∞ c (R d ) è denso in L p (R d ) , esiste v ∈ C ∞ c (R d ) tale che �v�p ≤ ε . Introdotte
le analoghe vn , abbiamo allora
106
�u − un�p ≤ �u − v�p + �v − vn�p + �vn − un�p = 2�u − v�p + �v − vn�p ≤ 2ε + �v − vn�p .
Gianni Gilardi