G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
Presentiamo ora qualche semplice esempio di spazio normato o prehilbertiano, riservandoci di
dare una gamma più ricca e significativa in un paragrafo successivo.
3.14. Esempio (spazio degli scalari). Dopo lo spazio ridotto al solo elemento nullo, l’esempio
più semplice di spazio prehilbertiano è quello del campo K stesso degli scalari. Il prodotto scalare
di due elementi x, y ∈ K è dato da xy . La norma indotta è il modulo e la distanza indotta è
d(x, y) = |x − y| .
3.15. Esercizio. Dimostrare che le norme in K sono tutte e sole le funzioni x ↦→ c|x| , x ∈ K ,
ove c > 0 è una costante.
3.16. Esempio (spazi euclidei). Più in generale, se n è un intero positivo, possiamo conside-
rare V = K n con le operazioni naturali. Come norma di x ∈ K n prendiamo |x| = ( � n
j=1 |xj| 2 ) 1/2
ove è inteso che x = (x1, . . . , xn) . Questa è indotta dal prodotto scalare x · y = � n
j=1 xjyj .
3.17. Esempio (funzioni continue). Consideriamo lo spazio V = C 0 [0, 1] delle funzioni
v : [0, 1] → K continue. Come norma prendiamo quella definita dalla formula
�v�∞ = max
0≤t≤1 |v(t)|
Effettivamente questa è una norma, come subito si verifica. Essa non è indotta da nessun prodotto
scalare in quanto la regola del parallelogrammo è violata (il lettore trovi due elementi u, v ∈ V che
la violano). La convergenza indotta è la convergenza uniforme.
Lo spazio V ha dimensione infinita e cogliamo l’occasione per segnalare un fatto nuovo rispetto
al caso finito-dimensionale. Consideriamo infatti il sottospazio V0 di V costituito dalle funzioni
di classe C 1 e la successione {vn} e la funzione v definite dalle formule vn(t) = (t + n −1 ) 1/2
e v(t) = t 1/2 . Allora {vn} converge a v uniformemente, cioè nel senso della topologia indotta
dalla norma considerata. Eppure vn ∈ V0 per ogni n mentre v �∈ V0 . Concludiamo che il
sottoinsieme V0 , pur essendo un sottospazio vettoriale di V , non è un chiuso.
3.18. Esempio. Consideriamo ancora lo spazio V = C 0 [0, 1] delle funzioni v : [0, 1] → K
continue, ma come norma prendiamo ora quella definita dalla formula
�
�v�2 =
� 1
0
|v(t)| 2 �1/2 dt
la quale è effettivamente una norma. Infatti essa è indotta dal prodotto scalare
� 1
(u, v) = u(t) v(t) dt.
0
Abbiamo uno spazio prehilbertiano. Segnaliamo un altro fatto, tipico della dimensione infinita. La
successione {vn} definita dalla formula vn(t) = t n converge a 0 (la funzione nulla) nel senso della
topologia che stiamo considerando ma non uniformemente. Ciò significa che la norma in questione
e quella dell’Esempio 3.17 inducono su C 0 [0, 1] due topologie diverse.
Negli esempi precedenti si è visto come, in casi di dimensione infinita, ci possano essere norme
che inducono su uno spazio vettoriale V topologie diverse. In particolare, l’applicazione identica
di V , pensata da uno degli spazi normati a un altro fra quelli costruiti su V , può non essere
continua. In generale, non è detto che un’applicazione lineare fra spazi normati sia continua, per cui
occorre distinguere fra operatori lineari e operatori lineari e continui. In dimensione finita, invece,
le cose vanno diversamente. Valgono infatti i risultati enunciati di seguito. Il fatto, altrettanto
vero, che ogni sottospazio di dimensione finita di uno spazio normato (in particolare un sottospazio
qualunque di uno spazio di dimensione finita) sia chiuso verrà dimostrato successivamente.
Analisi Funzionale
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