G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
4.2. Osservazione. La riflessività ha conseguenze notevolissime. Conviene allora preannunciare
qualche risultato, anche se ne rimandiamo la dimostrazione. Abbiamo che
sono riflessivi gli spazi di dimensione finita, quelli di Hilbert e gli L p (Ω) se p ∈ (1, +∞) (4.2)
restando inteso che L p (Ω) è costruito a partire da uno spazio di misura (Ω, M, µ) σ -finito.
4.3. Osservazione. Il nome dato all’isomorfismo canonico è giustificato dal risultato successivo,
il quale afferma che J è un isomorfismo isometrico di V su un sottospazio vettoriale di V ∗∗ . Si
noti che ciò implica anche i tre fatti seguenti: i) condizione necessaria perché V sia riflessivo è che
V sia isomorfo a V ∗∗ (mentre, come ha mostrato R.C. James costruendo un esempio complicato,
non ogni spazio isomorfo al suo biduale è riflessivo); ii) ogni spazio riflessivo è completo; iii) la
chiusura di J(V ) in V ∗∗ è un completamento di V . Ribadiamo dunque che V è riflessivo quando,
per ogni F ∈ V ∗∗ , esiste x ∈ V (necessariamente unico) tale che 〈F, f〉 = 〈f, x〉 per ogni f ∈ V ∗ .
4.4. Teorema. Sia V uno spazio normato. Allora l’isomorfismo canonico J dello spazio V è
un’applicazione lineare e isometrica di V in V ∗∗ .
Dimostrazione. La linearità è ovvia, per cui passiamo alla seconda tesi. La definizione fornisce banalmente
J0 = 0 per cui �Jx�∗∗ = �x� se x = 0 . Sia ora x ∈ V non nullo. Allora
|〈Jx, f〉| |〈f, x〉|
�Jx�∗∗ = sup = sup
�f�∗�=0 �f�∗ �f�∗�=0 �f�∗
e possiamo sia maggiorare che minorare. Deduciamo infatti
�f�∗�x�
|〈f, x〉|
�Jx�∗∗ ≤ sup = �x� e �Jx�∗∗ ≥
�f�∗�=0 �f�∗
�f�∗
per ogni f ∈ V ∗ \ {0} .
Se come f prendiamo il funzionale verificante le (2.2) (Corollario 2.10), concludiamo che vale, accanto a
�Jx�∗∗ ≤ �x� , anche la disuguaglianza opposta �Jx�∗∗ ≥ �x� .
4.5. Osservazione. Vi è un collegamento interessante fra la mappa di dualità (Definizione 3.1)
e l’isomorfismo canonico che qui vogliamo mettere in evidenza, almeno per una classe di spazi,
del resto molto vasta. Supponiamo che V sia uno spazio di Banach riflessivo e che V e V ∗
siano strettamente convessi (vedi Definizione 3.3 e Teorema 3.4 di Asplund). Allora anche V ∗∗ ,
in quanto isometricamente isomorfo (e non solo isomorfo) a V , è strettamente convesso. Per
la Proposizione 3.10 sono entrambe a un valore le due applicazioni di dualità F : V → V ∗ e
F ∗ : V ∗ → V ∗∗ . Allora possiamo considerare la loro composizione F ∗ ◦F : V → V ∗∗ . Dimostriamo
che questa coincide con l’isomorfismo canonico J : V → V ∗∗ . Sia infatti v ∈ V . Posto v ∗ = F(v)
per comodità, abbiamo
�Jv�∗∗ = �v� = �v ∗ �∗ e 〈Jv, v ∗ 〉 = 〈v ∗ , v〉 = �v� 2 = �v ∗ � 2 ∗
così che Jv verifica la definizione di F ∗ (v ∗ ) . Ma, grazie all’Osservazione 3.11, le applicazioni
F e F ∗ sono inettive. Siccome J è suriettivo, concludiamo che entrambe F e F ∗ sono anche
suriettive, dunque che esse sono biettive, oltre a J . Allora l’uguaglianza J = F ∗ ◦ F implica che
F −1 = J −1 ◦ F ∗
e (F ∗ ) −1 = F ◦ J −1 .
Dunque, se interpretiamo J come una identificazione di V ∗∗ a V , le due applicazioni F e F ∗
sono l’una l’inversa dell’altra.
Risulta naturale esaminare come l’isomorfismo canonico trasformi la convergenza debole.
A questo proposito è utile e importante introdurre un concetto generale.
Analisi Funzionale
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